凹凸啮合齿轮接触强度计算的分形方法研究

发布时间：2024-08-31

凹凸啮合齿轮接触强度计算的分形方法研究

合肥工业大学

硕士学位论文

凹凸啮合齿轮接触强度计算的分形方法研究

姓名：仰荣德

申请学位级别：硕士

专业：机械制造及其自动化

指导教师：黄康

20090301

凹凸啮合齿轮接触强度计算的分形方法研究

凹凸啮合齿轮接触强度计算的分形方法研究

摘要

目前齿轮表面接触的研究普遍建立在Ｈｅｒｔｚ接触理论上，而以微线段齿轮和双圆弧齿轮为代表的凹凸啮合齿轮接触计算则是利用有限元和电测法导出的经验工程公式，由于公式中有很多不确定参数的存在，从而导致了计算结果不稳定。

分形理论的研究对象是非线性系统中及不规则的几何形体。它自８０年代被提出以来在自然科学和社会科学的众多领域得到广泛的应用，作为一种新的研究方法，在非线性研究领域有着自身的优势。

针对上述问题，本文首次提出了凹凸啮合齿轮传动接触强度计算的分形方法。在简要介绍了求解接触问题的一般过程及分形理论的基本概念之后，以双圆弧齿轮为例，建立了其接触强度计算的分形模型，并进行了求解；用Ｐｒｏ／Ｅ三维软件建立了参数化齿轮模型并用有限元软件ＡＮＳＹＳＷｏｒｋｂｅｎｃｈ进行了有限元分析；最后将用有限元方法、传统经验公式、分形方法计算同一对啮合齿轮的接触应力同实验数据进行了比较分析。

本文的研究结果表明，利用分形理论计算凹凸啮合齿轮传动的接触强度的方法是可行的，而且与传统计算方法相比．，能够大大减少各种经验系数确定的随意性；与有限元方法相比，能够大大降低计算的复杂程度。

关键词：齿轮接触强度分形理论有限元

凹凸啮合齿轮接触强度计算的分形方法研究

ＲｅｓｅａｒｃｈｏｎＦｒａｃｔａｌＭｅｔｈｏｄｆｏｒＣｏｎｔａｃｔＳｔｒｅｎｇｔｈＣａｌｃｕｌａｔｉｏｎｏｆｔｈｅＣｏｎｃａｖｅ— ＣｏｎｖｅｘＭｅｓｈｉｎｇＧｅａｒ

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Ｆｒａｃｔａｌｔｈｅｏｒｙｓｏｍｅｍａｉｎｌｙｔａｌｋｓａｂｏｕｔ

ａｉｉｘｅｇｕｌａｒｇｅｏｍｅｔｒｉｃｓｈａｐｅｉｎｎｏｎｌｉｎｅａｒｍａｎｙｆｉｅｌｄｓｓｕｃｈａｓｓｙｓｔｅｍｓ．Ｆｒａｃｔａｌｔｈｅｏｒｙｈａｓｗｉｄｅａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｉｎｎａｔｕｒａｌ

ｓｃｉｅｎｃｅｓａｎｄｓｏｅｉａｌｓｃｉｅｎｃｅｓｓｉｎｃｅｉｔｗａｓｃｒｅａｔｅｄｉｎｔｈｅｌ９８０ｓ．ａｎｄｆｒａｃｔａｌｔｈｅｏｒｙｈａｓｉｔｓｏｗｎａｄｖａｎｔａｇｅｓｉｎｔｈｅｆｉｅｌｄｏｆｎｏｎｌｉｎｅａｒｒｅｓｅａｒｃｈａｓａｎｅｗｍｅｔｈｏｄ．

Ａｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏｔｈｅｐｒｏｂｌｅｍｓａｂｏｖｅ，ｔｈｅｆｒａｃｔａｌｔｈｅｏｒｙｗｉｌｌｂｅｓｔｕｄｉｅｄｉｎｔｈｉｓａｒｔｉｃｌｅ，ｗｈｉｃｈｃａｎｂｅｕｓｅｄｉｎｃｏｎｔａｃｔｓｔｒｅｎｇｔｈｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｉｎｃｏｎｃａｖｅｃｏｎｖｅｘｍｅｓｈｉｎｇＧｅａｒｄｒｉｖｉｎｇ．Ａｆｔｅｒｔｈｅｇｅｎｅｒａｌｐｒｏｃｅｓｓｏｆｃｏｎｔａｃｔｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎａｎｄｂａｓｉｃｃｏｎｃｅｐｔｉｏｎｉｎｆｒａｃｔａｌｔｈｅｏｒｙｂｅｉｎｇｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ，ｆｒａｃｔａｌｍｏｄｅｌｗｏｕｌｄｂｅ．ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄａｎｄｃａｌｃｕｌａｔｅｄａｓｃｏｎｃａｖｅｃｏｎｖｅｘｍｅｓｈｉｎｇＧｅａｒｆｏｒｅｘａｍｐｌｅ．ＰａｒａｍｅｔｒｉｃｍｏｄｅｌｗｉｌｌｂｅｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄａｎｄａｎａｌｙｚｅｄｔｈｒｏｕｇｈＰｒｏ／ＥａｎｄＡＮＳＹＳＷｏｒｋｂｅｎｃｈ．ＴｈｅｃｏｎｔａｃｔｓｔｒｅｓｓｏｆｔｈｅｓａｍｅｐａｉｒｏｆｇｅａｒｓｃａｌｃｕｌａｔｅｄｂｙＦＥＭｍｅｔｈｏｄ，ｔｈｅＨｅｒｔｚ

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Ｔｈｉｓａｒｔｉｃｌｅｒｅｓｕｌｔｓ：ＩｔｉＳｆｅａｓｉｂｌｅｔｏｃａｌｃｕｌａｔｅｃｏｎｔａｃｔｓｔｒｅｎｇｔｈｗｉｔｈｆｒａｃｔａｌｔｈｅｏｒｙｉｎｔｈｅｄｒｉｖｉｎｇｏｆｃｏｎｃａｖｅｃｏｎｖｅｘｍｅｓｈｉｎｇＧｅａｒ，ｗｈｉｃｈｎｏｔｏｎｌｙｃａｎｄｅｅｐｌｙｒｅｄｕｃｅｔｈｅｕｎｃｅｒｔａｉｎｌｙｏｆｅｍｐｉｒｉｃａｌｆａｃｔｏｒｃｏｍｐａｒｅｄｗｉｔｈｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ，ｂｕｔａｌｓｏｃａｎｄｅｅｐｌｙｒｅｄｕｃｅｔｈｅｄｉｆｆｉｃｕｌｔｙｃｏｍｐａｒｅｄｗｉｔｈＦＥＭｍｅｔｈｏｄ．

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｇｅａｒ：ｃｏｎｔａｃｔｓｔｒｅｎｇｔｈ：ｆｒａｃｔａｌｔｈｅｏｒｙ：ＦＥＭ

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图表清单

图１．１凸凹接触体的应力状态……………………………………………………………．．２图２．１粗糙表面接触………………………………………………………………………………．７图２．２科特曲线………………………………………………………………………１３图２．３线分割示意图……………………………………………………………………………．．１４图２．４尺码法计算表面轮廓分形维数的原理…………………………………………１５图２．５盒计数法计算表面轮廓分形维数的原理………………………………．．１６图２．６Ｗ．Ｍ函数模拟的轮廓曲线……………………………………………………………．１７图３．１两任意平面接触示意图……………………………………………………．．２２图３．２两曲面主曲率所形成的坐标图…………………………………………………．．２２图３．３两球体接触和圆柱接触图…………………………………………………………．２３图４．１齿廓曲线形成过程图…………………………………………．．．……………………一３１图４．２齿轮基本参数设置对话框……………………………………………………３３图４．３齿轮尺寸关系表达式在Ｐｒｏ／Ｅ中的建立图………………………………．３３图４．４齿廓曲线图………………………………………………………………………………３４图４．５切出的单个齿廓图………………………………………………………………………３５图４．６完整的齿轮实体图……………………………………………………………………一３５图４．７齿轮装配图………………………………………………………………………………３６图４．８ＣＡＤ设计一ＣＡＥ仿真协同流程图………………………………………………．．３７图４．９ＡＮＳＹＳＷｏｒｋｂｅｎｃｈ中的双圆弧齿轮实体模型……………………………．３７图４．１０ＡＮＳＹＳＷｏｒｋｂｅｎｃｈ中的材料属性定义…………………………………………．３８图４．１１双圆弧齿轮的网格模型………………………………………………………………３８图４．１２接触对的建立………………………………………………………………．３９图４．１３载荷约束施加图……………………………………………………………．３９图４．１４ａ一个齿轮单齿接触应力图………………………………………………．４０图４．１４ｂ一个齿轮单齿接触应力图………………………………………………４０表４．１各种方法计算接触应力与实验数据的对比……………………………………４１

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独创性声明

本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得盒鲤互些态堂或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。

黜黼繇仰蒲、极撕瓤叼㈠舌签字日期：∥州ＪＬｐ１６

学位论文版权使用授权书

本学位论文作者完全了解金罡工些盔堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权金匿』些盔堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。

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致谢

我的论文结束了，研究生的生活也要结束了。这也意味着新一页的开始，我想这段美好时光将使我终生难忘。

本论文是在黄康老师的悉心指导下完成的。黄老师知识渊博，治学严谨，对学术问题精益求精的精神，使我受益非浅。在这两年的研究生学习生涯中，我从导师身上不仅学到了许多科学文化知识，还学到了如何正确认识问题，克服困难的精神。这将对我将来的生活产生重大影响。我深深的感谢黄老师这两年来给予我的无微不至的关怀和照顾，感谢老师在我做论文期间给予的认真指导。

同时也要感谢所有同学、师兄师弟等，他们在我做课题期间对我给予了无私的帮助，在此也表示诚挚的感谢。还要感谢我的父母对我的养育和教育。

最后感谢合肥工业大学研究生部为我提供了良好的学习和生活条件，使我得以顺利地完成学业。

祝愿合肥工业大学的明天更美好！

作者：仰荣德２００９年３月１６日

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第一章绪论

１．１本课题研究的目的与意义

齿轮是机械中广泛应用的传动零件之一，它具有传动效率可靠、传动比准确、使用寿命长等特点。因此，齿轮广泛应用于汽车、拖拉机、工程机械和机床等机械产品中用来传递动力。在机械传动装置中，齿轮的质量、性能和寿命直接影响着机电产品的性能和可靠性，由于齿轮传动的损坏而引起设备的故障、差错，会造成巨大的损失。但从零件失效的情况来看，齿轮是最容易出故障的零件之一。据统计，在各种机械故障中，齿轮失效就占总数的６０％以上，其中齿面损坏又是齿轮失效的主要原因之一。如果齿面接触强度不够，齿面将产生点蚀、剥落、塑性变形等损伤，为了防止齿面产生这些损伤，在进行齿面的接触强度计算以限制齿面的接触应力不超过许用值，但在齿轮啮合过程中，由于齿面的弹性变形和齿面接触载荷分布的非线性，啮合齿对数发生变化和接触区改变等多种复杂因素的影响，使得齿轮的接触强度计算变得异常复杂。齿轮的接触强度问题一直是国内外学者关注的焦点和话题。

随着近代科学技术及工业的迅速发展，对齿轮传动提出了越来越高的要求，渐开线齿轮己不能满足高承载、长寿命等性能要求，为了适应各种不同的应用要求，微线段和双圆弧等用凹凸啮合方式传动的新齿形齿轮纷纷被研制出来，并已得到广泛应用。如双圆弧齿轮已被广泛应用于高强度和高载荷的应用场合，而且有关双圆弧的加工刀具已经比较成熟。微线段齿轮亦取得了较大的成果，微线段齿轮的发明专利已被我国率先拿到，并相应取得了微线段滚刀的专利，相信在不久的将来必然要实现产业化。

目前，关于接触问题的数学模型主要以Ｈｅｒｔｚ模型为代表。通过Ｈｅｒｔｚ模型再加以变形及系数修正可计算出两接触体间的接触应力，由此可判断出接触体能否满足接触强度条件。Ｈｅｒｔｚ模型较正确地反映两接触体间的应力状态，仍应用于现代产品设计中，如齿轮的接触强度计算仍选用的是经典的Ｈｅｒｔｚ理论。但是采用上述方法是难以精确求解齿轮接触强度的。赫兹接触公式是从物体的宏观特性来考虑，在满足其假设条件下能够很好地解决了许多实际问题，但没有考虑物体表面的微观接触的细节情况，难以解决凸凹体内接触的承载能力分析问题。

当接触体为凸凹形式内接触、并且接触半径几乎相等时，用Ｈｅｒｔｚ理论来解决接触体间的强度问题便显得有些不准确了。

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图１．１凸凹接触体的应力状态

如图１．１所示为两个内接触的圆柱体，若ｐ一≈ｐ：，则根据Ｈｅｒｔｚ公式有最大接触应力：

Ｆ（一１一上）

ａⅣ咄２似毕＋毕）ｐｌＰ２

其中：Ｆ为接触体间的正压力；

ｂ为初始接触线长度；

ｐ，ｐ２为零件１和零件２的初始接触线处的曲率半径；

ｐ，ｐ：为零件ｌ和零件２材料的泊松比；

止ｌ，丘２为零件１和零件２材料的弹性模量。

显然，由Ｈｅｒｔｚ公式计算出的接触应力为零，即无论接触体间的正压力多大，也没有应力，’这显然与实际情况不符。因此，用Ｈｅｒｔｚ公式来计算这种凸凹形式内接触的强度问题是不合适的。上述出现问题的原因主要是，用Ｈｅｒｔｚ公式在分析接触体的接触强度时，只是考虑了接触体的宏观因素，如接触体的几何尺寸、材料特性和压力等。而没有考虑到接触体间的微观因素。

有限元方法计算接触问题有很多独到之处，有限元方法不仅能解决二维接触问题，对三维接触应力的分析也能圆满解决。国内外常采用包含接触问题分析功能的非线性有限元程序Ｉ－ＤＥＡＳ、ＡＢＡＱＵＳ、ＡＤＩＮＡ、ＡＮＳＹＳ和ＮＡＳＴＲＡＮ进行求解计算，结果比较令人满意。但是，运用有限元方法计算接触问题需要专业的有限元分析软件，成本较高；其次，对分析人员的有限元软件使用水平要求较高，最后，由于用有限元方法计算接触要建立模型及对模型的修正，此过程是个周期较长的反复过程，在设计的初期阶段用有限元方法去计算校核接触应力效率较低。由此可见，有限元方法在运用于齿轮接触实际计算还是有很多缺陷的。

分形理论作为一种新的研究方法，目前已在各个领域得到广泛的应用。它在解决复杂的非线性问题上有着自身的优势。利用分形理论的方法来研究接触问题可以解决传统方法所带来的弊端，更准确的得到实际接触面积，对接触应２

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力和接触强度等方面提供更好的预测。其中以Ｍ．Ｂ分形模型为分形理论典型代表，然而Ｍ．Ｂ模型在分析时主要考虑两接触体的微观形貌，而没有考虑接触表面的宏观特性，如曲面形状、接触方式等。因此在用分形模型对接触体的应力状态分析时，不能考虑物体的宏观属性。如Ｍ—Ｂ模型不能区分两平面接触和两弧面接触时的应力分析情况。

本文针对上述问题，综合考虑宏观和微观因素，并根据Ｈｅｒｔｚ接触理论研究接触对间宏观因素、用分形几何来研究接触对间微观因素对接触体间的应力状态的影响，建立凸凹体的三维接触分形模型，分析其凸凹体接触的应力状态。并将其应用到凹凸啮合传动（以双圆弧齿轮为例）接触强度计算中，为研究凹凸啮合齿轮接触问题提供了一种新的方法和思路。

１．２传统齿面接触强度理论

经典的齿面接触应力的计算公式是以两圆柱体接触的接触应力公式为基础，结合齿轮的参数导出的。关于两弹性圆柱体接触应力的计算问题，均以Ｈｅｒｔｚ公式为基础。１９０８年威迪基（Ｅ．Ｖｉｄｅ’ｋｙ）首先把Ｈｅｒｔｚ公式应用于直齿圆柱齿轮的齿面接触强度计算中，明确提出了齿面接触应力的概念，为以后的齿面接触强度计算方法奠定了基础。

以前的齿轮设计公式，由于考虑的影响因素很少，其设计值一般都是留有很大的余量，并且设计结果也千差万别。近代工业的发展对齿轮提出了重载和高性能的要求，使人们必须研究齿轮装置在极限载荷工作状态下的设计，不允许留有极大的余量。为了适应这种新形势，有必要重新估量过去的齿轮计算公式，建立起充分考虑到影响强度的各种因素的详细设计公式。由于各国研究人员对影响因素考虑的出发点不同，对同一影响因素采用的形式不同，出现了各种各样的齿轮设计公式。比较常用的设计公式主要包括【１１：

（１）ＤＩＮ公式：德国标准化学会（ＤＩＮ）的公式。此公式是非常成熟的标准技术，标准科学合理，从齿轮传动动态性能和承载能力出发，并结合齿轮制造规律综合在标准中，一共８个标准组成，每个标准都非常简洁、具体，实用性较强。是后来ＩＳＯ标准的主要参考来源。

（２）ＡＧＭＡ公式：美国齿轮制造者协会（ＡｍｅｒｉｃａｎＧｅａｒＭａｎｕｆａｃｔｕｒｅｒｓＡｓｓｏｃｉａｔｉｏｎ）的公式。此公式具有较丰富的使用经验，经受了实践的考验。在国际上也获得了较高的评价。ＡＧＭＡ公式提供了很多有关资料，因此，用它在新领域中进行设计时非常方便，这是其他标准所不及的。

（３）ＢＳ公式：英国标准（ＢｒｉｔｉｓｈＳｔａｎｄａｒｄＳｐｅｃｉｆｉｃａｔｉｏｎ）的公式。

（４）ＪＧＭＡ公式：日本齿轮工业协会的公式。此公式考虑了日本及世界上齿轮强度计算标准的现状，以用途广泛的产业机械齿轮作为对象，制定了易于理解并节省时间为目的的公式。

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（５）ＩＳＯ公式：国际标准化组织（ＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＯｒｇａｎｉｚａｔｉｏｎｆｏｒＳｔａｎｄａｒｄｉｚａｔｉｏｎ）的公式，这个计算公式和以前的计算公式相比，更多的定量引入了影响齿轮强度的因素，成为最精确的，综合的圆柱齿轮强度计算公式。但是，另一方面也可以看到，这些因素对齿轮强度影响的程度，在目前的研究水平和理论的探讨方面还都存在理解不深之处，还有根据经验的推论大胆的编入计算公式中去的牵强情况。

（６）ＧＢ公式：我国目前使用的接触强度计算标准是ＧＢ／Ｔ３４８０一１９９７，从标准内容看，国标内容最少，基本上源于ＩＳＯ标准，且与我国的实际国情有脱节现象，与工业先进的德国、美国、日本有一定差距。

以上的齿轮标准中，齿轮接触强度计算公式均以Ｈｅｒｔｚ公式为依据，辅以不同的影响因素推算得出的。由于各公式对影响因素考虑的侧重点不同，所得结果千差万别。

１．３有限元方法计算齿面接触强度发展现状

有限元法应用于齿轮应力分析大约起始于本世纪６０年代末和７０年代初，短短几年己有迅速发展ｆ２１。据资料显示【３１，发表较早、影响较大的有Ｃｈａｂｅｒｔ（法国）和Ｗｉｌｃｏｘ（美国）以及户部（日本）等人的文章。他们都对不同参数的齿形进行了大量的计算，并将结果归纳成为简化的应力计算公式，同时也与ＩＳＯ和ＡＧＭＡ所推荐的公式进行了比较。最初的研究对象是那些齿形较为简单的齿轮，其研究成果虽然使计算更加精确，但是由于计算复杂，而且不能计入齿轮运转中的很多因素等多方面的原因，均未能广泛用于齿轮的实际计算。随着计算接触问题的非线性有限元技术的出现和不断完善发展，为解决广泛而复杂的接触问题创造了条件。

现在，以有限元为手段进行接触应力分析的齿轮中，主要是齿廓较为复杂的齿轮，如斜齿轮【４】【５】、螺旋齿轮【６１１７】【８１、锥齿轮【９１、摆线齿轮等。它们的齿面接触状况比普通直齿轮更为复杂，齿廓越复杂，齿轮实际啮合情况就远比Ｈｅｒｔｚ公式的假设条件复杂得多【１０】【１１】。如果以经典的方法进行计算，其结果会与实际有更大的出入，相比而言，用有限元方法解决接触问题，不但可消除分析计算中的某些限制条件，而且对接触形状和尺寸亦无原则性限制。更重要的是，对那些难以直接用Ｈｅｒｔｚ公式精确求解的小变形几何非线性接触问题，用有限元方法也能得至令人满意的结果。目前的有限元方法不仅能解决二维接触问题，对三维接触应力的分析也能圆满解决。国内外常采用包含接触问题分析功能的非线性有限元程序Ｉ－ＤＥＡＳ、ＡＢＡＱＵＳ、ＡＤＩＮＡ、ＡＮＳＹＳ和ＮＡＳＴＲＡＮ进行求解计算，结果令人满意。国内还出现了有摩擦的三维弹性接触有限元分析方法及前后处理技术，并成功地应用于处于啮合状态的齿轮１１２１。４

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１．４分形理论及其发展现状

分形理论是当今世界十分活跃的新理论、新学科。分形的概念是美籍数学家曼德布罗特（Ｂ．Ｂ．Ｍａｎｄｅｌｂｏｒｔ）首先提出的。１９７５年，他创立了分形几何学（ｆｒａｃｔａｌｇｅｏｍｅｔｒｙ）。在此基础上，形成了研究分形性质及其应用的科学，称为分形理论（ｆｒａｃｔａｌｔｈｅｏｒｙ）。被誉为大自然的几何学的分形（Ｆｒａｃｔａｌ）理论，是现代数学的一个新分支，但其本质却是一种新的世界观和方法论。它承认世界的局部可能在一定条件下，过程中，在某一方面（形态，结构，信息，功能，时间，能量等）表现出与整体的相似性，它承认空间维数的变化既可以是离散的也可以是连续的，因而拓展了视野。３０多年来，分形理论及其应用已发展成与混沌理论及其应用并驾齐驱的非线性科学重要分支。

国外关于分形几何的研究在８０年代就在理论和实践上都有了很大突破。Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ在１９７５年发表论文通过对英国海岸线的研究提出分形理论【ｌ３１。９０年代，Ｍａｊｕｍｄａｒ与Ｂｈｕｓｈａｎ研究利用分形的方法研究两表面接触的情况，并建立Ｍ．Ｂ分形接触模型【１４】【１５】【１６１，Ｔｈｏｍａｓ等人研究了利用Ｃａｎｔｏｎ集来建立分形接触模型【１７】。ＲｅｎａｔｏＢ，ＣｏｒｒａｄｏＢ利用分形理论研究了两金属表面接触的情况

【１８】，ＷａｎｇＳ，ＫｏｍｖｏｐｏｕｌｏｓＫ引入分形理论针对不同的滑动方式对摩擦温升分布规律进行了研究【ｌ９１。由此可见，国外对分形理论的研究在不断的深入，成为现在研究的热点课题。

我国１９８９年４月中科院国际材料物理中心举办分形学习班推动分形几何研究。１９８９年７月由四川大学、北京大学等高等院校组织召开了分形理论学术会议。然后，分形几何理论在很多科技领域，如农业、探矿、地震预报等方面，新材料发展和生物医学等都开始发展和应用。在我国较早研究分形理论的有中科院国际材料物理中心的郝柏林教授，主要研究分形与混沌１２０Ｊ；中国矿业大学的谢和平教授著的《分形一岩石力学》【２１１、东北大学的曾文曲教授翻译的《分形几何一一数学基础及其应用》【２２１、清华大学教授张济忠著的《分形》【弱Ｊ一书，对我国分形理论的探讨和应用研究起到了很大的推动作用。工程兵指挥学院的陈国安教授研究了分形几何在粗糙表面分形特征、摩擦温升分布、磨损预测和磨屑分析等方面的应用【２４１【２５】【２６１，中国矿业大学教授葛世荣在分形维数的计算、表面形貌的分形模拟、机加工表面分形特征和摩擦力分形特征方面有着深入的研列２４】【２６１【２７１【２８１。

重庆大学的孙隶华教授等研究了“分形理论在制造决策模型实验数据建模中的应用”，北京科技大学的吕志民老师等研究了“分形维数及其在滚动轴承故障诊断中的应用＂，将分形维数作为识别滚动轴承故障的特征量，上海交通大学的汪慰军老师研究的“关联维数在大型机组故障诊断中的应用＂提出了将分形理论用于故障诊断的技术路线及基本计算方法。分形理论真正发展起来才二十年，并且方兴未艾，很多方面的理论还有待

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进一步研究。值得注意的是，近年分形理论的应用发展远远超过了理论的发展，并且给分形的数学理论提出了更新更高的要求。各种分形维数计算方法和实验方法的建立、改进和完善，使之理论简便，可操作性强，是应用分形的科学家们普遍关注的问题。而在理论研究上，维数的理论计算、估计、分形重构（即求一动力系统，使其吸引集为给定分形集）、Ｊ集和Ｍ集及其推广形式的性质、动力学特征及维数研究将会成为数学工作者们十分活跃的研究领域。多重分形理论的完善、严格以及如何用这些理论来解决实际问题可能会引起科学家们广泛的兴趣，而动力学特征、相变和子波变换可能会成为其中的几个热点。如今，分形已成为各个学科中流行的非线性研究工具之一。

１．５论文的主要内容

由于分形理论所具有的研究问题的新方法和新思路，已经在很多的领域中得到成功的应用。其中，分形理论已经在摩擦学领域，尤其是在表面形貌的表述方面受到重视并取得研究成果。

本文将分形理论应用到齿轮接触强度的计算中去。主要内容包括：

１．介绍了解决接触问题的一般过程及分形几何的基本理论，给出了一般粗糙表面的分形模型，并在Ｗ—Ｍ分形函数的基础上，引出三维随机粗糙表面接触的分形模型；

２．利用最终得到的直角坐标系下三维随机表面接触的分形模型，并给出了表示，，（，，是与表面轮廓频谱密度相关的参数）数与接触区域、载荷和弹性变形之间的关系的３个无量纲方程，再将其引入凹凸啮合齿轮接触分析中，进而建立基于分形的双圆弧齿轮接触应力计算模型；

３．利用有限元软件ＡＮＳＹＳＷｏｒｋｂｅｎｃｈ对双圆弧齿轮进行齿轮接触强度分析计算，得到分形计算模型中的齿轮接触时载荷、接触区域及变形；与上述分形方法的计算结果进行对比验证，对分形模型计算结果产生的误差进行分析，通过分析找出了误差产生的原因。

本论文的研究工作由安徽省自然科学基金项目“微线段齿轮的强度及磨齿理论的研究＂（编号：０７０４１４１５０）支持。６

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第二章解决接触问题的一般过程及分形基本理论

解决接触强度计算的关键是求出接触体在外力作用下的真实接触面积。我们提出的分形方法计算接触强度的核心思想就是应用Ｍ．Ｂ接触模型来研究接触体的真实接触面积问题。

２．１计算真实粗糙表面接触问题一般过程和方法

真实工程表面并不是完全光滑的，当两物体相互接触时，真实表面时间上是两表面微凸体的间接触。合理描述真实接触应力的计算取决于对接触的真实模拟。接触分析是在计入材料特性和表面粗糙度后确定真实表面压力和接触面积的数值计算过程。本节就对现有接触模型和求解接触问题的分析方法进行研究，并主要论述构成粗糙表面接触模拟计算３个重要方面的工作。

２．１．１接触问题的基本方程

两真实粗糙表面间的接触如图２．１所示：

ｙ

图２．１租糙表面接触

其真正接触区粗糙表面接触是在相对较高的微凸体的顶部区域。假设表面上任意一点ｋ，ｕｚ（ｋ）和Ｕ２（ｋ）是两物体接触的弹性变形，ｓＩ（ｋ）和ｓ２（ｋ）是未受载荷前ｋ位置的初始间隙，Ｑ１和Ｑ２是刚体位移，Ｑ１方向是图２．１中Ｙ轴正方向，Ｑ２方向是图２．１中Ｙ轴负方向，则两物体的弹性变形与初始间隙之和应大于或

ｕ（ｋ）＋ｓ（ｋ）一Ｑ＝Ｏ

ｕ（ｋ）＋ｓ（ｋ）－ａ＞０

上式称为接触变形协调条件，其中：

ｕ（ｋ）＝ｕｌ（ｋ）＋ｕ２（ｋ），

ｓ（ｋ）＝ｓ１（ｋ）＋ｓ２（ｋ），

Ｑ２Ｑ等于刚体位移，即（接触区内）（接触区外）（２．１）（２—２）ｌ＋Ｑ２ｏ

此外，表面压力Ｐ的对接触线长度ｘ积分之和应等于作用于接触物体的总７

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载荷Ｐ：

ｌｐ０）出－－ｅ

计算区域表面上任意点的表面位移可表示为（２—３）

‰＝∑％乃

式中：口村是当在结点ｊ作用一单位力时在结点ｋ处产生的位移；

ｆｊ是作用在接触表面结点ｊ上的载荷；

ｍ是可能接触结点数。（２４）

式（２．４）也可表示为矩阵形式，即：

＂＝Ａｆ

式中：Ａ称为柔度矩阵：

ｕ＝（ｕ。，ｕ２，…，ｕ．）是位移向量；

ｆ＝（ｆ。，ｆ：，…，ｆ．）是载荷向量。（２—５）

式（２．１）～（２．５）构成了求解接触问题的基本方程。这些方程的求解通常是由式（３．５）求出一组满足变形协调条件（式（２．１）和（２２））的位移，以及满足平衡条件（式（２．３））的一组接触压力。由于粗糙表面特性的任意性，求解粗糙表面接触比光滑表面接触要复杂。这类问题的求解主要反映在三个方面：（１）粗糙表面轮廓的确定；（２）结点载荷和表面位移之间关系的计算公式；（３）求解几何非线性接触问题的方法。

２．１．２真实粗糙表面的确定

（１）假定微凸体形状的粗糙表面统计方法

工程表面的数学描述是模拟粗糙表面间接触的第一步。统计方法通常将微凸体高度的分布描述成为一个随机过程。这样，粗糙表面就能够由统计参数，如高度分布函数以及分布函数的特征加以描述。通常，在分析时为了使用现有的接触公式，需要指定微凸体的形状。在Ｇｒｅｅｎｗｏｏｄ和Ｗｉｌｌｉａｍｓｏｎ的统计接触模型（Ｇ．Ｗ模型）中【２９１，表面被认为具有相同曲率半径的半球形尖端微凸体。微凸体的高度假定满足高斯分布。这种模型由３个参数定义：微凸体高度分布的标准差ｏ、单位面积微凸体的密度Ｉｌ和微凸体的曲率半径Ｂ，其中１３假定为常数。进一步的研究中，指定的微凸体尖端形状有球形、抛物线形或具有一定半径和空间距离排列的圆柱形等。这些描述粗糙表面方法的主要优点是表达简单明了。大大地简化了接触方程，加快了接触分析。

（２）基于统计参数粗糙表面的生成

这类方法是用测量统计参数生成数字化的粗糙表面。Ｐａｔｉｒ［３０１提出了一种数字化生成粗糙表面的方法。其生成的三维表面微凸体高度（ｚ（ｘ，ｙ））满足高斯分８

凹凸啮合齿轮接触强度计算的分形方法研究

布和一个双线性自相关函数Ｒ（入Ｘ，入ｙ）。使用二维数字过滤技术，Ｈｕ和Ｔｏｎｄｅｒ【３１】提出了另一个具有给定的高度标准差和自相关函数的三维粗糙表面的生成方法。运用上述方法生成的表面已被用于求解粗糙表面的接触分析中。该方法的优点是可以生成大量具有统计参数的表面，有利于分析不同特征表面的接触特性以及回归公式的原始数据的产生。

（３）使用表面测量仪数字化真实粗糙表面

通过测量仪器获取的表面应该是最真实的表面形貌。当前主要有５种测量表面轮廓的仪器。它们是：（１）针形表面轮廓仪；（２）光学（白光干涉）测量仪；（３）电子扫描显微仪ＳＥＭ：（４）原子力显微镜ＡＦＭ；（５）扫描隧道显微镜ＳＴＭ。在这些仪器中，前２个通常用于宏观到微观微凸体的测量，其它的可以用于测量微观或纳米级表面形貌。

（４）采用分形理论来描述表面形貌

分形理论用于描述表面形貌的多尺度性质。运用分形技术建立的粗糙表面接触模型可以保留表面的结构形貌，并能提供用于接触压力和变形计算的与尺寸无关的表面参数¨６‘。

２．１．３载荷一位移关系的描述

（１）赫兹计算公式

在早期研究粗糙表面间接触问题时，常采用赫兹公式确定载荷与位移的关系，其中假设已知每个微凸体的形状和尖端半径。但这个方法在计算接触区域时，不能考虑微凸体的相互作用。对半径为Ｒ的球形微凸体，如果刚体位移为Ｑ，其载荷Ｆ和微凸体接触面积Ａ，用赫兹公式计算为

．－，●

，：！生Ｒ１，２口３，２；彳：石Ｒ口（３－６）

舯“喂综合骶模量Ａ蝴可１＝警＋警；

ＩＩ和Ｅ分别是材料的泊松比和杨氏模量，下标１和２代表两接触物体。

（２）积分方法

对平面应变问题，在法向分布载荷作用下，表面位移可表示为

小）＝蔷ｐ∽ｈ（嚣卜ｐ７，