直线的参数方程教案
时间：2025-07-13
直线的参数方程
教学目标：
1. 联系数轴、向量等知识，推导出直线的参数方程，并进行简单应用，体会直线参数方程在解决问题中的作用．
2.通过直线参数方程的推导与应用，培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合、转化、类比等数学思想．
3. 通过建立直线参数方程的过程，激发求知欲，培养积极探索、勇于钻研 的科学精神、严谨的科学态度．
教学重点：联系数轴、向量等知识，写出直线的参数方程．
教学难点：通过向量法，建立参数t（数轴上的点坐标）与点在直角坐标系中的坐标x,y之间的联系．
教学方式：启发、探究、交流与讨论. 教学手段：多媒体课件． 教学过程：
一、回忆旧知，做好铺垫 教师提出问题：
1.曲线参数方程的概念及圆与椭圆的参数方程． 2.直线的方向向量的概念．
3.在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？ 4.已知一条直线的倾斜角和所过的一个定点，请写出直线的方程． 5.如何建立直线的参数方程？
这些问题先由学生思考，回答，教师补充完善，问题5不急于让学生回答，先引起学生的思考．
【设计意图】通过回忆所学知识，为学生推导直线的参数方程做好准备．
二、直线参数方程探究 1．回顾数轴，引出向量
数轴是怎样建立的？数轴上点的坐标的几何意义是什么？ 教师提问后，让学生思考并回答问题．
教师引导学生明确：如果数轴原点为O，数1所对应的点为A，数轴上点M的坐标为t，那么：
①OA
为数轴的单位方向向量，OA
与OA 与OA
方向与数轴的正方向一致，且OM tOA
；
②当OM 当OM
方向一致时（即OM
方向相反时（即OM
0；
的方向与数轴正方向一致时），t的方向与数轴正方向相反时），t
0；
0
；
当M与O重合时，t
③|OM| t
．教师用几何画板软件演示上述过程．
【设计意图】回顾数轴概念，通过向量共线定理理解数轴上的数的几何意义，为选择参数做准备． 2.类比分析，异曲同工
问题：（1）类比数轴概念，平面直角坐标系中的任意一条直线能否定义成数轴？
（2）把直线当成数轴后，直线上任意一点就有两种坐标．怎样选取单位长度和方向才有利于建立这两种坐标之间的关系？
教师提出问题后，引导学生思考并得出以下
结论：选取直线l上的定点M0为原点，与直线l平行且方向向上(l的倾斜角不为0时)或向右（l的倾斜角为0
时）的单位向量e
确定直线l的正方向，同时在
直线l上确定进行度量的单位长度，这时直线l就变成了数轴．于是，直线l上的点就有了两种坐标（一维坐标和二维坐标）．在规定数轴的单位长度和方向时，与平面直角坐标系的单位长度和方向保持一致，有利于建立两种坐标之间的联系．
【设计意图】使学生明确平面直角坐标系中的任意直线都可以在规定了原点、单位长度、正方向后成为数轴，为建立直线参数方程作准备． 3. 选好参数，柳暗花明
问题（1）：当点M在直线l上运动时，点M满足怎样的几何条件？
让学生充分思考后，教师引导学生得出结论：将直线l当成数轴后，直线
l上点M运动就等价于向量M0M
变化，但无论向量怎样变化，都有M0M te
．因
此点M在数轴上的坐标t决定了点M的位置，从而可以选择t作为参数来获取直
线l的参数方程． 【设计意图】明确参数．
问题（2）：如何确定直线l的单位方向向量e
？
教师启发学生：如果所有单位向量起点相同，那么终点的集合就是一个圆．为了研究问题方便，可以把起点放在原点，这样所有单位向量的终点的集合就是一个单位圆．因此在单位圆中来确定直线的单位方向向量．
教师引导学生确定单位方向向量，在此基础上
启发学生得出e (cos ,sin )，从而明确直线l
的方向向量可以由倾斜角 来确定． 当0
时，sin 0，所以直线l
向向量e的方向总是向上．
的单位方
【设计意图】综合运用所学知识，获取直线的方向向量，培养学生探索精神，体会数形结合思想．
4. 等价转化，深入探究
(x,y)，怎样用参数t表示x,y？ 问题：如果点M0,M的坐标分别为(x0,y0)、
教师启发学生回顾向量的坐标表示，待学生通过独立思考并写出参数方程
后再全班交流．过程如下：
因为e (cos ,sin )
，（
,0[)
），MM0
xy(,)x( y,)0(0x xy, y
)
，
又M0M//e
，所以存在实数t R，使得M0M te
，即
(x x0,y y0) t(cos ,sin )
．
，
于是x 即x
x0 tcos
，y
y0 tsin
x0 tcos
，y
y0 tsin
．
的直线的参数方程为
因此，经过定点M
(x0,y0)，倾斜角为
x x0 tcos y y0 tsin
（t为参数）．
教师提出如下问题让学生加强认识：
①直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？ ②参数t的取值范围是什么？ ③参数t的几何意义是什么？
直线的参数方程教案.doc
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