2013年山东省专升本高等数学(专业课)专题二检测题答案

2013年山东省本科生入学考试高等数学（专业课）答案 专题二：导数与微分检测题标准答案

一、 单项选择题：每小题2分，共10分.

1.C 2.A 3.C 4.D 5.B

二、填空题：每小题2分，共10分.

6.y=0和x=-1 7.ey（/1-xey）dx 8. π/6+31/2 9.x=21/2/2

10.（-1）n-1·[（n-1）！/（1+x）n]

三、计算题：每小题5分，共20分.

11. 已知f（x）=arcsin[（㏑cosx）1/2]，求dy/dx.

解:由题意得 ，（fx）是由y=arcsinu，u=v1/2，v=㏑w和w=cosx复合而成，故根据复合函数求导的链式法则得： f＇（x）= dy/dx=（dy/du）·（du/dv）·（dv/dw）·（dw/dx）=1/（1-u2）1/2·1/2（v1/2）·1/w·（-sinx）=1/（1-㏑cosx）1/2·1/2（㏑

1/2cosx）·1/cosx·（-sinx）=（-2tanx）/[㏑cosx（1-㏑cosx）]1/2.

12. 设由方程y=F（x2+y2）+F（x+y），确定隐函数y=y（x），又F（x）可导，且F＇（2）=1/2，F＇（4）=1，y（0）=2，求dy/dx┃x=0.

解：方程两边同时对x求导，得：

dy/dx=y＇=F＇（x2+y2）（2x+2yy＇）+F＇（x+y）（1+y＇）， 整理，得： dy/dx= y＇=[2x F＇（x2+y2）+ F＇（x+y）]/[1-2y

F＇（x2+y2）- F＇（x+y）]

∴dy/dx┃x=0=F＇（2）/[1-4F＇（4）-F＇（2）]=（1/2）/（1-4-1/2）=（1/2）/（-7/2）=-1/7.

13. 已知y=┃㏑┃x┃┃在x=1和x=-1处的连续性与可导性. 解：由题意得，原函数可化为y=f（x）={ ㏑x ，x≥1 { -㏑x ，0＜x＜1 {-㏑（-x），-1＜x＜0 { ㏑（-x），x≤-1

（1）.该分段函数在x=1处的连续性：

limx→1-f（x）= limx→1-（-㏑x）= limx→1-（-㏑1）=0； limx→1+f（x）= limx→1+（㏑x）= limx→1+（㏑1）=0， ∵limx→1-f（x）= limx→1+f（x），∴该分段函数在x=1处连续.

（2）.该分段函数在x=1处的可导性：

f-＇（1）= limx→1-{[f（x）-f（1）]/（x-1）}= limx→1-{[（-㏑x）-（㏑1）]/（x-1）}= limx→1-[（-㏑x）/（x-1）]=- limx→1-[1/（x-1）·㏑x]=- limx→1-（㏑x）[1/

[1/（x-1）]（x-1）]= - limx→1-㏑[1+（x-1）] =-1.

f+＇（1）= limx→1+{[f（x）-f（1）]/ （x-1）}= limx→1+{[（㏑x）-0]/（x-1）}= limx→1+[㏑x/（x-1）]= limx→1+㏑[1+（x-1）]

[1/（x-1）]=1.

∵f-＇（1）≠f+＇（1），∴该分段函数在x=1处不可导.

（3）. 该分段函数在x=-1处的连续性：

limx→-1-f（x）= limx→-1-㏑（-x）= limx→-1-㏑（1）=0； limx→-1+ f（x）=- limx→-1+㏑（-x）=- limx→-1+㏑（1）=0， ∵limx→-1-f（x）= limx→-1+ f（x），∴该分段函数在x=-1处连续.

（4）. 该分段函数在x=-1处的可导性：

f-＇（-1）=limx→-1-{[f（x）-f（-1）]/（x+1）}= limx→-1-{[㏑（-x）-0]/（x+1）}= limx→-1-[㏑（-x）（/x+1）]= limx→-1-㏑[1-（x+1）][-1/（x+1）] ·（-1）=㏑e-1=-1.

f+＇（-1）=limx→-1+{[f（x）-f（-1）]/（x+1）}= limx→-1+{[-㏑（-x）-0]/（x+1）}=- limx→-1+ [㏑（-x）（/x+1）]=- limx→-1+㏑[1-（x+1）][-1/（x+1）] ·（-1）=-㏑e-1=1.

∵f-＇（-1）≠f+＇（-1），∴该分段函数在x=-1亦处不可导. 综上所述，该函数y=┃㏑┃x┃┃在x=1和x=-1处都连续，在x=1和x=-1处都不可导.

14.求曲线x2/3+y2/3=a2/3在点（21/2/4a，21/2/4a）处的切线方程和法线方程.

解:方程两边同时对x求导，得：

2/3x-1/3+2/3y-1/3·y＇=0，解得：y＇=-（y/x）1/3

即dy/dx=-（y/x）1/3∴dy/dx┃（21/2/4a，21/2/4a）=-1，即该点处的切线斜率为-1，故该点处的切线方程为y-（21/2/4）a=-[x-（21/2/4）a]，整理得：x+y-（21/2/2）a=0.

该点处的法线斜率为1，故该点处的法线方程为y-21/2/4a= x-

（21/2/4）a，整理得：x-y=0.

因此该点处的切线方程为x+y-（21/2/2）a=0，该点处的法线方程为x-y=0.

四、证明应用题：每小题5分，共10分.

15.解：由题意可知该函数的定义域为R，∴y＇=6x-3x2=3x（2-x）=-3x（x-2），y＂=6-6x=-6（x-1）.

令y＇=0，得：x1=0，x2=2；令y＂=0，得：x3=1.

由y＇＞0，得：0＜x＜2；由y＇＜0，得：x＜0或x＞2；由y＂＞0，得：x＜1；由y＂＜0，得：x＞1.

当x变化时，y＇、y＂和y的变化如下表所示：

由表格可知：极小值为f（0）=0；极大值为f（2）=4.

因此函数在(-∞，0)和(2，+∞)上单调递减；在(0，2)上单调递增；极小值为0，极大值为4；上凸区间（凹区间）为(-∞，

1)；下凸区间为（1，+∞)；拐点为（1，2）.

16.证明：由题意，可对f（x）在闭区间[a，c]，[c，b]上分别应用拉格朗日中值定理，得:

f＇（ζ1）=[f（c）-（a）]/（c-a），ζ1∈（a，c）；

f＇（ζ2）=[f（b）-（c）]/（b-c），ζ2∈（b，c）.

∵A、B、C三点在同一直线上，

∴[f（c）-（a）]/（c-a）=[f（b）-（c）]/（b-c）=[f（b）-（a）]/（b-a）

故f＇（ζ1）= f＇（ζ2），因此f＇（x）在[ζ1，ζ2]上满足罗尔定理的条件，于是至少存在一点ζ∈（ζ1，ζ2）∈（a，b），使得f＂（ζ）=0.