2010线性代数期末试题及参考答案

一、判断题(正确填T，错误填F。每小题2分，共10分)

1． A是n阶方阵， R，则有 A A。 （ ）

1 1 1

AB 0(AB) BA2． A，B是同阶方阵，且，则。 （ ）

3．如果A与B等价，则

A的行向量组与B的行向量组等价。 ( )

4．若A,B均为n阶方阵，则当A B时，A,B一定不相似。 ( ) 5．n维向量组 1, 2, 3, 4 线性相关，则 1, 2, 3 也线性相关。 （ ）

二、单项选择题（每小题3分，共15分）

1．下列矩阵中，（ ）不是初等矩阵。

0

0 1

010

1

0 0

1

0 0

001

0

0 0

1

0 0

020

0

0 1

1

0 0

010

0

2 1

（A） (B) (C) (D)

2．设向量组 1, 2, 3线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ ）。 （A） 1 2, 2 3, 3 1 （B） 1, 2, 3 1 （C） 1, 2,2 1 3 2 （D） 2, 3,2 2 3

2

阶方阵，且A A 5E 0。则(A 2E)

1

3．设A为n

（ ）

4．设A为m n矩阵，则有（ ）。

（A）若m n，则Ax b有无穷多解；

（B）若m n，则Ax 0有非零解，且基础解系含有n m个线性无关解向量；

（C）若A有n阶子式不为零，则Ax b有唯一解； （D）若A有n阶子式不为零，则Ax 0仅有零解。

5．若n阶矩阵A，B有共同的特征值，且各有n个线性无关的特征向量，则（ ）

（A）A与B相似 （B）A B，但|A-B|=0

（C）A=B （D）A与B不一定相似，但|A|=|B|

三、填空题（每小题4分，共20分）

1

2

n 1．

n0

A

2．A为3阶矩阵，且满足

1 1 1

1

3,则

A

1

=______，

1 4 2

0

3A

*

。

3．向量组，，，是线性 （填相关或无关）的，它的一个极大线性无关组是 。

1 2 1

3 4 1, 2, 3R(A)Ax b ，4． 已知是四元方程组的三个解，其中A的秩=3，

4

4

2 3

4 4

0 2 2

5 2 3 4

7

，则方程组Ax b的通解为 。

1 1 3

5．设

2

A 1

5

3a0

，且秩(A)=2，则a= 。

四、计算下列各题（每小题9分，共45分）。

1

A 3

1

242

1

2 2

1．已知A+B=AB，且，求矩阵B。

T

n

2.设 (1, 1, 1,1), ( 1,1,1, 1)，而A ，求A。

x1 x2 ax3 1

x1 x2 2x3 1

x ax x a2

233.已知方程组 1有无穷多解，求a以及方程组的通解。

4.求一个正交变换将二次型化成标准型

f(x1,x2,x3) x1 2x2 2x3 4x1x2 4x1x3 8x2x3

2

2

2

5． A，B为4阶方阵，AB+2B=0，矩阵B的秩为2且|E+A|=|2E-A|=0。（1）

求矩阵A的特征值；（2）A是否可相似对角化？为什么？；（3）求|A+3E|。

五．证明题（每题5分，共10分）。

1．若A是对称矩阵，B是反对称矩阵，AB BA是否为对称矩阵？证明你的结

论。

T

2．设A为m n矩阵，且的秩R(A)为n，判断AA是否为正定阵？证明你的结论。

线性代数试题解答

一、

1．（F）（ A A） 2．（T）

1

A 0

03．（F）。如反例：

010

0 0

0 B 0 0 ， 0

010

0

0 1 。

n

4．（T）（相似矩阵行列式值相同） 5．（F） 二、

1．选B。初等矩阵一定是可逆的。

2．选B。A中的三个向量之和为零，显然A线性相关； B中的向量组与 1， 2，

3等价, 其秩为3，B向量组线性无关；C、D中第三个向量为前两个向量的线

性组合，C、D中的向量组线性相关。 3．选C

2

。由A A 5E 0 A A 2E 3E A 2E (A E) 3E

2

，

A 2E

1

13

(A E)

)。

4．选D。A错误，因为m n，不能保证R(A) R(A|b)；B错误，Ax 0的基础解系含有n R A 个解向量；C错误，因为有可能R(A) n R(A|b) n 1，

Ax b无解；D正确，因为R(A) n。

5．选A。A正确，因为它们可对角化，存在可逆矩阵P,Q，使得

PAP

1

diag( 1, 2, , n) QBQ

1

，因此A,B都相似于同一个对角矩阵。

n 1

1n!（按第一列展开） 三、1．

1

2． 3；3（

5

3A

=

3A

3

2

）

3． 为向量个数大于向量维数）。 1, 2, 4。因为 3 2 1 2，

A | 1 2 4| 0

。

2

4

T

4． 1

23

4 k 2

T

。因为R A 3，原方程组的导出组的基

础解系中只含有一个解向量，取为 2 3 2 1，由原方程组的通解可表为导出组的通解与其一个特解之和即得。 5．a 6（R A 2 A 0) 四、 1．解法一：

A B AB

A E B

A B (A E)A。将A E与A组成一

1

1

个矩阵(A E|A)，用初等行变换求(E|(A E)A)。

0 3

A E|A = 1 1

0

r2 3r1,r3 r1 0 1 0

r3 2r2 0 1

0r2 r3 0

010010001

23203201 10 13

12102102 3002

13103102 2

242042

1 2

(r1 r3)2

1 1

r31 2 r 1 2

r35

1 0 0

1 3 1

012011002

032011023

021021022

031022

042

1 2 2 1 2 1

1

0 0 010

1 2 5

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