长江大学线性代数模拟试卷
发布时间：2024-08-31
2010线性代数期末试题及参考答案
一、判断题(正确填T，错误填F。每小题2分，共10分)
1． A是n阶方阵， R，则有 A A。 （ ）
1 1 1
AB 0(AB) BA2． A，B是同阶方阵，且，则。 （ ）
3．如果A与B等价，则
A的行向量组与B的行向量组等价。 ( )
4．若A,B均为n阶方阵，则当A B时，A,B一定不相似。 ( ) 5．n维向量组 1, 2, 3, 4 线性相关，则 1, 2, 3 也线性相关。 （ ）
二、单项选择题（每小题3分，共15分）
1．下列矩阵中，（ ）不是初等矩阵。
0
0 1
010
1
0 0
1
0 0
001
0
0 0
1
0 0
020
0
0 1
1
0 0
010
0
2 1
（A） (B) (C) (D)
2．设向量组 1, 2, 3线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ ）。 （A） 1 2, 2 3, 3 1 （B） 1, 2, 3 1 （C） 1, 2,2 1 3 2 （D） 2, 3,2 2 3
2
阶方阵，且A A 5E 0。则(A 2E)
1
3．设A为n
（ ）
4．设A为m n矩阵，则有（ ）。
（A）若m n，则Ax b有无穷多解；
（B）若m n，则Ax 0有非零解，且基础解系含有n m个线性无关解向量；
（C）若A有n阶子式不为零，则Ax b有唯一解； （D）若A有n阶子式不为零，则Ax 0仅有零解。
5．若n阶矩阵A，B有共同的特征值，且各有n个线性无关的特征向量，则（ ）
（A）A与B相似 （B）A B，但|A-B|=0
（C）A=B （D）A与B不一定相似，但|A|=|B|
三、填空题（每小题4分，共20分）
1
2
n 1．
n0
A
2．A为3阶矩阵，且满足
1 1 1
1
3,则
A
1
=______，
1 4 2
0
3A
*
。
3．向量组，，，是线性 （填相关或无关）的，它的一个极大线性无关组是 。
1 2 1
3 4 1, 2, 3R(A)Ax b ，4． 已知是四元方程组的三个解，其中A的秩=3，
4
4
2 3
4 4
0 2 2
5 2 3 4
7
，则方程组Ax b的通解为 。
1 1 3
5．设
2
A 1
5
3a0
，且秩(A)=2，则a= 。
四、计算下列各题（每小题9分，共45分）。
1
A 3
1
242
1
2 2
1．已知A+B=AB，且，求矩阵B。
T
n
2.设 (1, 1, 1,1), ( 1,1,1, 1)，而A ，求A。
x1 x2 ax3 1
x1 x2 2x3 1
x ax x a2
233.已知方程组 1有无穷多解，求a以及方程组的通解。
4.求一个正交变换将二次型化成标准型
f(x1,x2,x3) x1 2x2 2x3 4x1x2 4x1x3 8x2x3
2
2
2
5． A，B为4阶方阵，AB+2B=0，矩阵B的秩为2且|E+A|=|2E-A|=0。（1）
求矩阵A的特征值；（2）A是否可相似对角化？为什么？；（3）求|A+3E|。
五．证明题（每题5分，共10分）。
1．若A是对称矩阵，B是反对称矩阵，AB BA是否为对称矩阵？证明你的结
论。
T
2．设A为m n矩阵，且的秩R(A)为n，判断AA是否为正定阵？证明你的结论。
线性代数试题解答
一、
1．（F）（ A A） 2．（T）
1
A 0
03．（F）。如反例：
010
0 0
0 B 0 0 ， 0
010
0
0 1 。
n
4．（T）（相似矩阵行列式值相同） 5．（F） 二、
1．选B。初等矩阵一定是可逆的。
2．选B。A中的三个向量之和为零，显然A线性相关； B中的向量组与 1， 2，
3等价, 其秩为3，B向量组线性无关；C、D中第三个向量为前两个向量的线
性组合，C、D中的向量组线性相关。 3．选C
2
。由A A 5E 0 A A 2E 3E A 2E (A E) 3E
2
，
A 2E
1
13
(A E)
)。
4．选D。A错误，因为m n，不能保证R(A) R(A|b)；B错误，Ax 0的基础解系含有n R A 个解向量；C错误，因为有可能R(A) n R(A|b) n 1，
Ax b无解；D正确，因为R(A) n。
5．选A。A正确，因为它们可对角化，存在可逆矩阵P,Q，使得
PAP
1
diag( 1, 2, , n) QBQ
1
，因此A,B都相似于同一个对角矩阵。
n 1
1n!（按第一列展开） 三、1．
1
2． 3；3（
5
3A
=
3A
3
2
）
3． 为向量个数大于向量维数）。 1, 2, 4。因为 3 2 1 2，
A | 1 2 4| 0
。
2
4
T
4． 1
23
4 k 2
T
。因为R A 3，原方程组的导出组的基
础解系中只含有一个解向量，取为 2 3 2 1，由原方程组的通解可表为导出组的通解与其一个特解之和即得。 5．a 6（R A 2 A 0) 四、 1．解法一：
A B AB
A E B
A B (A E)A。将A E与A组成一
1
1
个矩阵(A E|A)，用初等行变换求(E|(A E)A)。
0 3
A E|A = 1 1
0
r2 3r1,r3 r1 0 1 0
r3 2r2 0 1
0r2 r3 0
010010001
23203201 10 13
12102102 3002
13103102 2
242042
1 2
(r1 r3)2
1 1
r31 2 r 1 2
r35
1 0 0
1 3 1
012011002
032011023
021021022
031022
042
1 2 2 1 2 1
1
0 0 010
1 2 5
1 0
B 13
3 5 。故 1
3 5 。
1
解法二：A B AB
0
3 1
232
A E B
0 121 1 11
A B (A E)A
。
002
1 3 5
。
(A E)
1
1 1 2 1 1 3 1 1
1 1
1 1 11
1 0
1
3 B (A E)A 1
6 3，因此 1
1 1 1 ，A2 4A，
A
T
2．解：
A ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
n
T
T
T
T
T
T
T
4
n 1
T
4
n 1
A
。
3．解法一：由方程组有无穷多解，得R(A) R(A|b) 3，因此其系数行列式
1
|A| 1
1
1 1a
a2 01
。即a 1或a 4。
当a 1时，该方程组的增广矩阵
1
1 0 1 0 1
12 320
1 0 0
1
(A|b) 1
1
1 1 1
121
10
于是R(A) R(A|b) 2 3，方程组有无穷多解。分别求出其导出组的一个
1
基础解系 2
32
1
，原方程组的一个特解 1
T
T
T
0
，故a 1时，方程组
有无穷多解，其通解为
1
0
T
1 k
2
32
1
， 4 1
1 2
11 6
1
1 0 0
4 1
0 2 2
001 5，1
1 1
(Ab| ) 1
4 1当a 4时增广矩阵
R(A) 2 R(A|b) 3，此时方程组无解。
解法二：首先利用初等行变换将其增广矩阵化为阶梯形。
1
(A|b) 1
1
1 1a
a21
1 1 1 0
2
a 0
1 2a 1
a2 a1 a
1 1
0 0
2
a 1 0
1
1 20
12
a2 a(1 a)(4 a)
2
1
0
2
a 1
由于该方程组有无穷多解，得R(A) R(A|b) 3。因此2
(1 a)(4 a) a 1 0
，
即a 1。求通解的方法与解法一相同。
4．解：首先写出二次型的矩阵并求其特征值。二次型的矩阵
1 A 2
2
2 24
2 4 |A E| 2 2 ，2
2 2 4
24 2
( 2)( 7)
2
因此得到其特征值为 1 2 2， 3 7。
再求特征值的特征向量。
解方程组(A 2E)x 0，得对应于特征值为 1 2 2的两个线性无关的特征向量
1 2
1
0
T
， 2 2
0得
1
T
。
解方程组(A 7E)x
3 1
2
2
T
对应于特征值为 3 7的一个特征向量
。
1
再将
2
p2
5
45
1 2 1
。
T
0， 2
T
2
1
T
正交化为
p1 2
1
0
T
，
最后将
p1 2
1
0
T
2p2
5，
45
1
， 3 1
25 5 5 5
0
2515451553
T
2
2
T
单位化后组成
的矩阵即为所求的正交变换矩阵
f 2y1 2y2 7y3
2
2
2
1 3 2 3 2 3
，其标准形为
。
A
5． 解：（1）由E A 2E A 0知-1，2为
AB 2B 0
的特征值。
A 2E B
0，故-2为A的特征值，又B的秩为2，即特征值-2
有两个线性无关的特征向量，故A的特征值为-1，2，-2，-2。
（2）能相似对角化。因为对应于特征值-1，2各有一个特征向量，对应于特征值
-2有两个线性无关的特征向量，所以A有四个线性无关的特征向量，故A可相似对角化。
（3）A 3E的特征值为2，5，1，1。故A 3E=10。 五、1．AB BA为对称矩阵。 证明：
AB BA
T
AB BA
T
T
=BTAT ATBT= BA A B =AB BA，
所以AB BA为对称矩阵。 2．ATA为正定矩阵。 证明：由 AA
T
T
AA知ATA为对称矩阵。对任意的n维向量 0，由R A n
T
T
得A 0，
AA
T
=
A
2
0，由定义知ATA是正定矩阵。
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