宁夏银川一中2014届高三第四次月考试卷

数 学 试 卷（文）

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

(1 i)2

1．复数z (i为虚数单位)的虚部为

1 i

A．1 B. -1 C. 1 D. 0

2．设集合A x|2x 1 3，集合B为函数y lg(x 1)的定义域，则A B A．(1,2) B. [1,2] C. [1,2) D. (1,2] 3．设Sn是等差数列 an 的前n项和，a1 2,a5 3a3,则S9

A. 72 B. 54 C.54 D.72

1

x，则tanα＝ 5

4334 A． B． C．－ D．－

3443

5．设a为实数，函数f(x) x3 ax2 (a 3)x的导函数为f (x)，且f (x)是偶函数，

4. 设α是第二象限角，P（x，4）为其终边上的一点，且cosα＝

则曲线：y f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 A. 9x y 16 0 B. 9x y 16 0 C. 6x y 12 0 D. 6x y 12 0

6. 已知各项为正数的等差数列{an}的前20项和为100，那么a7 a14的最大值为 A．25

B．50

C．100 D．不存在

2

7. 设a是函数f x x 4 lnx在定义域内的最小零点，若0 x0 a，则f x0 的值满

足

A.f x0 0

B.f x0 0

C.f x0 0

D.f x0 的符号不确定

8．已知函数f(x) Asin( x )（其中A 0,

π） 2

的部分图象如右图所示，为了得到g(x) sin2x的图象， 则只需将f(x)的图象 A. 向右平移C. 向左平移

ππ个长度单位 B. 向右平移个长度单位 612ππ

个长度单位 D. 向左平移个长度单位 612

9．若不等式x2＋ax＋1 0对于一切x （0，

1

）成立，则a的取值范围是 2

5

2

D．a 3

A．a 0 B．a 2 C．a

ex e x

10．函数y lnx的图象大致为

e e x

A. B. C. D.

11．如图，在矩形ABCD

中，ABBC 2，点E为BC的中点，

点F在边CD上，若AB AF A.

2，则AE BF的值是

2

B. 2 D. 1

C. 0

12．定义域为R的偶函数f(x)满足对 x R，有f(x 2) f(x) f(1)，且当x [2,3]

时，f(x) 2x 12x 18，若函数y f(x) loga(|x| 1)在(0, )上至少有三个零点，则a的取值范围是 A．(0,

2

236

) B．(0,) C．(0,) D．(0,) 2356

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

x 1

13．设变量x,y满足约束条件 x y 4 0，则目标函数z 3x y的最大值为 .

x 3y 4 0

14．已知数列 an 的前n项和为Sn n2，某三角形三边之比为a2:a3:a4，则该三角形最大角为_____________.

x

(x 0) ，观察： x 2xx

f1(x) f(x) ， f2(x) f(f1(x)) ，

x 23x 4

x

，…… f3(x) f(f2(x))

7x 8

根据以上事实，由归纳推理可得：当n N且n 2时，fn(x) f(fn 1(x)) 15．设函数f(x)

16．已知定义在R上的函数f(x)是奇函数且满足f( x) f(x)，f( 2) 3，数列

32

an 满足a1 1，且Sn

n

2

an

1（其中Sn为 an 的前n项和）, n

则f(a5) f(a6) 三、解答题:本大题共5小题，共计70分。解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 17.(本小题满分12分）

已知数列

an 是

2

公差不为0的等差数列，a1 2，且a2，a3, a4 1成等

比数列.

(1)求数列 an 的通项公式； (2)设bn

n.(an 2)

，求数列 bn 的前n项和Sn

18.（本小题满分12分）

1

(sinx, 1), (cosx, ),函数f(x) ( ) 2． 已知向量

2

（1）求函数f(x)的最小正周期T;

（2）已知a,b,c分别为 ABC内角A，B，C的对边, 其中Ａ为锐角,a 23,c 4,且f(A) 1,求Ａ，b和 ABC的面积Ｓ． 19.（本小题满分12分）

已知数列 an 是等差数列，a2 6,a5 18，数列 bn 的前n项和是Tn，且

1

Tn bn 1．

2

(1) 求数列 an 的通项公式；

(2) 求证：数列 bn 是等比数列；

(3) 记cn an bn，求 cn 的前n项和Sn． 20．（本小题满分12分）

已知函数f (x)＝ex－ax－1. (1)求f (x)的单调增区间；

(2)是否存在a，使f (x)在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由．

２１. （本小题共１２分）

已知函数f(x) x alnx，g(x)

1 a

, (a R). x

（1）若a 1，求函数f(x)的极值；

（2）设函数h(x) f(x) g(x)，求函数h(x)的单调区间；

（3）若在 1,e （e 2.718...）上存在一点x0，使得f(x0) g(x0)成立，求a的取值范围.

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，AB是0的一条切线，切点为B，直线ADE， CFD，CGE都是O的割线，已知AC=AB.

(1)求证：FG//AC; (2)若CG=1，CD=4，求

DE

的值. GF

23．（本小题满分10分）选修4－4：极坐标系与参数方程

x＝3－22，

在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为

2

y＝5＋t 2

的方程为ρ＝5sin θ.

(1)求圆C的直角坐标方程；

(t为参数)．在极坐标系(与

直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C

(2)设圆C与直线l交于点A，B.若点P的坐标为(3，5)，求|PA|＋|PB|. 24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

（1）求不等式x 3 2x 1的解集; （2）已知a,b R,a b 1，求证：（a

12125

. ) (b )2

ab2

2014届高三第四次月考数学（文）参考答案

一、选择题

1-5 BDBDA 6-10 AAACC 11-12 AB 二、填空题 13. 4 14. 三、解答题

1７. （本小题满分12分）

解：（1）设数列 an 的公差为d，由a1 2和a2,a3,a4 1成等比数列，得

x2

15. 16. 3 nn3(2 1)x 2

(2 2d)2 2 d 3 3d ， 解得d 2，或d 1，………………2分

当d 1时，a3 0，与a2,a3,a4 1成等比数列矛盾，舍去．

d 2， ………………………4分 an a1 n 1 d 2 2 n 1 2n,即数列 an 的通项公式an 2n. …………6分

（2）bn

22111=，………………9分

n (an 2)n(2n 2)n(n 1)nn 1

Sn a1 a2 an 1

1８. （本小题满分12分） .解: （Ⅰ）

111111n

.…………12分 1

223nn 1n 1n 1

…………………………………………2分

……………4分

因为,所以…………………………………………6分

（Ⅱ）

因为，所以， ……………8分

则则

，所以

…………………………………………10分

，即

从而

1９. （本小题满分12分） 解：(Ⅰ)设

的公差为

，则：

………………………12分

，，

∵∴

，，∴， ∴

．

．

（Ⅱ）当时，，由，得．

当时，，，

∴，即． ∴．

∴是以为首项，为公比的等比数列．

（Ⅲ）由（2）可知：．

∴．

∴．

∴．

∴

∴

20．（本小题满分12分） 解 f′(x)＝ex－a，

(1)若a≤0，则f′(x)＝ex－a≥0， 即f(x)在R上递增，

若a>0，ex－a≥0，∴ex≥a，x≥ln a. 因此f(x)的递增区间是[ln a，＋∞)． (2)由f′(x)＝ex－a≤0在(－2,3)上恒成立． ∴a≥ex在x∈(－2,3)上恒成立． 又∵－2<x<3，∴e－2<ex<e3，只需a≥e3.

当a＝e3时f′(x)＝ex－e3在x∈(－2,3)上，f′(x)<0， 即f(x)在(－2,3)上为减函数， ∴a≥e3.

故存在实数a≥e3，使f(x)在(－2,3)上单调递减．

２１. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）f(x)的定义域为(0, )， 当a 1时，f(x) x lnx，f (x

) 1

1x 1

，

所以f(x)在x 1处取得极小值1. （Ⅱ）h(x) x

1 a

alnx， x

1 aax2 ax (1 a)(x 1)[x (1 a)]

h (x) 1 2

xxx2x2

①当a 1 0时，即a 1时，在(0,1 a)上h (x) 0，在(1 a, )上h (x) 0，

所以h(x)在(0,1 a)上单调递减，在(1 a, )上单调递增； ②当1 a 0，即a 1时，在(0, )上h (x) 0，

所以，函数h(x)在(0, )上单调递增. （III）在 1,e 上存在一点x0，使得f(x0) g(x0)成立，即 在 1,e 上存在一点x0，使得h(x0) 0，即 函数h(x) x 由（Ⅱ）可知

①即1 a e，即a e 1时， h(x)在 1,e 上单调递减，

e2 11 a

所以h(x)的最小值为h(e)，由h(e) e ， a 0可得a

e 1e

22e 1e 1因为； e 1，所以a

e 1e 1

②当1 a 1，即a 0时， h(x)在 1,e 上单调递增，

1 a

alnx在 1,e 上的最小值小于零. x

所以h(x)最小值为h(1)，由h(1) 1 1 a 0可得a 2； ③当1 1 a e，即0 a e 1时， 可得h(x)最小值为h(1 a)， 因为0 ln(1 a) 1，所以，0 aln(1 a) a 故h(1 a) 2 a aln(1 a) 2

此时，h(1 a) 0不成立. e2 1

综上讨论可得所求a的范围是：a 或a 2.

e 1

22．（本小题满分10分）

2

解：(Ⅰ)因为AB为切线，AE为割线，AB AD AE，

又因为AC AB，所以AD AE AC2． 所以

ADAC

，又因为 EAC DAC，所以△ADC∽△ACE， ACAE

所以 ADC ACE，又因为 ADC EGF，所以 EGF ACE， 所以FG//AC．

(Ⅱ)由题意可得：G,E,D,F四点共圆，

CGF CDE, CFG CED.

CGF∽ CDE.

DECD

.

GFCG

DE

=4. GF

又 CG 1,CD 4， 23. （本小题满分10分）

解：(1)由ρ＝25sin θ，得x2＋y2－25y＝0，

即x2＋(y－5)2＝5.

(2)法一：将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程， 得(3－

222

)＋()2＝5， 22

即t2－32t＋4＝0.

由于Δ＝2)2－4×4＝2>0，故可设t1，t2是上述方程的两实根，

t1＋t2＝2，

所以

t2＝4. t1·

又直线l过点P(3，5)，

故由上式及t的几何意义得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝2. (2)法二：因为圆C的圆心为(0，5)，半径r＝5， 直线l的普通方程为：y＝－x＋3＋5.

x＋y5＝5，

由 得x2－3x＋2＝0. y＝－x＋3＋5. x＝1， x＝2，

解得： 或

y＝2＋5. y＝1＋5.

不妨设A(1,2＋5)，B(2,1＋5)， 又点P的坐标为(35)， 故|PA|＋|PB|8＋2＝2. 24. （本小题满分10分）

（1）[-2，2]

(2)证明： a,b R,且a b 1, ab (

22

a b21

) 24

121211(a b)2 2ab222

(a ) (b ) 4 (a b) (2 2) 4 [(a b) 2ab]

ababa2b2

1

11 2ab1 25， 4 (1 2ab) 22 4 (1 2 ) 当且仅当a b 时

1242ab

()24

1 2

不等式取等号