偏微分方程数值解期末试题及答案

偏微分方程数值解期末试题及答案

偏微分方程数值解试题(06B)

参考答案与评分标准

信息与计算科学专业

一（10分）、设矩阵A对称，定义J(x)

1

(Ax,x) (b,x)(x Rn)，2

( ) J(x0 x).若 '(0) 0,则称称x0是J(x)的驻点（或稳定点）.矩阵A对

称（不必正定），求证x0是J(x)的驻点的充要条件是：x0是方程组 Ax b的解 解: 设x0 Rn是J(x)的驻点,对于任意的x Rn,令

( ) J(x0 x) J(x0) (Ax0 b,x)

2

2

(Ax,x), (3分)

'(0) 0,即对于任意的x Rn,(Ax0 b,x) 0,特别取x Ax0 b,则有

(Ax0 b,Ax0 b) ||Ax0 b||2 0,得到Ax0 b. (3分) 反

之

,若

x0 Rn

满足

Ax0 b

,则对于任意的

1

x,J(x0 x) (1) (0) (Ax,x) J(x0),因此x0是J(x)的最小值点. (4分)

2

评分标准: ( )的展开式3分, 每问3分,推理逻辑性1分

ddu

Lu (p) qu f

二（10分）、 对于两点边值问题： dxdx

'

u(a) 0,u(b) 0

x [a,b]

x (a,b)

其中p C1([a,b]),p(x) minp(x) pmin 0,q C([a,b]),q 0,f H0([a,b]) 建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz形式和

Galerkin形式的变分方程。

1

解: 设HE {u|u H1(a,b),u(a) 0}为求解函数空间,检验函数空间.取1v HE(a,b),乘方程两端,积分应用分部积分得到 (3分)

bdudv1 a(u,v) (p. quv)dx fvdx f(v), v HE(a,b)

aadxdx

即变分问题的Galerkin形式. (3分)

11bdu

令J(u) a(u,u) (f,u) [p()2 qu2 fu]dx,则变分问题的Ritz形式

22adx

b

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1

为求u* HEJ(u) (4分) (a,b),使J(u*) min1

u HE

评分标准:空间描述与积分步骤3分,变分方程3分,极小函数及其变分问题4分, 三（20分）、对于边值问题

2u 2u

2 0,(x,y) G (0,1) (0,1) 2 y x

u|x 0 1,u|x 1 0,u|y 0 u|y 1 1 x

（1）建立该边值问题的五点差分格式（五点棱形格式又称正五点格式），推导截断误差的阶。

（2）取h 1/3，求边值问题的数值解（写出对应的方程组的矩阵形式，并求解） （3）就h 1/5和h 1/N的一般情况写出对应方程组的系数矩阵（用分块矩阵表示）。 解: (1) 区域离散xj jh,yk kh,差分格式为

uj 1,k 2ujk uj 1,k

h2

uj,k 1 2ujk uj,k 1

h2

0 (5分)

h2 4u 4u

应用Tayloy展开得到,截断误差为[4 4]jk O(h4),其阶为O(h2) (3分)

12 x y(2) 未知量为U (u11,u12,u21,u22)T,矩阵形式为AU F,其中

4 1 10 1 2/3 5/3

140 1 1/3 1/3 A ,F 1 2/3 5/3 (4分) 104 1

0 1 14 1/3 1/3

求解得到解为 (3分)

52/

A=[4,-1,-1,0;-1,4,0,-1;-1,0,4,-1;0,-1,-1,4] L =

2.0000 -0.5000 -0.5000 0 0 1.9365 -0.1291 -0.5164 0 0 1.9322 -0.5521 0 0 0 1.8516 u= 0.6667 0.3333 0.6667 0.3333 2

/2 1/2

L

1/20/2 0 2/ 2/

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B I 4 1 IB I 14 1

(3) 矩阵为 , (5分) B

IB 14

评分标准:第1问8分,格式4分,截断误差4.(2) 7分,方程4分,解3分.(3)5分, 形式3分,B的形式2分

u 2u

a2 bu,0 x 1,0 t T

x t

四（20分）、对于初边值问题 u(x,0) (x),0 x 1

u(0,t) u(1,t) 0,0 t T

（1）建立向前差分格式（最简显格式），推导截断误差的主项，指出误差阶; （2）写出差分格式的矩阵形式（即AUk 1 BUk F的形式），用矩阵方法分析格式的稳定性

（3）建立六点对称格式(Crank Nicolson格式) 并写出计算形式，应用Fourier方法（分离变量法）分析格式的稳定性。

1kuk ujj

解:(1) 区域离散,格式为

a

12kk

u buxjj , (5分) 2h

1 2ukah2 4uk

(4)j O( 2 h4),阶为应用Taylor展开得到,误差主项为(2)j

2 t12 x

O( h2) (3分) (2) A E,B diag{r,1 2r,r}, (4分) 稳定条件为r 1/2 (3分) (3) 格式为

1

uk ukjj

a2bk 1k 1k

( u (1 )u) (uj ukxjjj), (3分) 2

2h

低阶项归入O( )中,格式是无条件稳定的. (2分)

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1 1nun unun u ujjj 1 uj 1

0的三层差分格式五（10分）、逼近 0 t x2 2h

分析格式的稳定性

1nn 1

解:计算形式为un r(unjj 1 uj 1) uj (2分)

1此为三层格式,化为两层格式.令vn unjj,则有

n 1nnn

uj r(uj 1 uj 1) vj

n 1 (4分) n

uj vj

ni jhnni jh

令un,代入格式,消去公因子,得到 we,v wj1j2e

w1n 1 2irsin h1 w1n

n 1 n (2分) w 10 2 w2

2rsin hi 2rsin hi1

放大矩阵为G ,特征方程为| E G| 10 1

2rsin h 4 4r2sin2 h

i

2

2rsin hi 1 0, 1,2

2

1 2 1,max{| 1|,| 2|} 1的充要条件为方程有相同的复根或一对共扼复根,即

4 4r2sin2 h 0.考虑到 的变化,稳定条件为r 1 (2分)

2

2u2 u六（10分）、建立波动方程2 a的初值问题的显格式，推导截断误差,2 t x

推导格式稳定的必要条件.

1n 1

un 2unjj uj

解:差分格式为

2

a2

12n

xuj, (3分) 2h

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