2-3 n阶行列式的性质与计算

§2.3n阶行列式的性质与计算

一、行列式的性质记

a11 a12 a1n a11 a21 a21 a22 a2 n a12 a22 T D D an1 an 2 ann a1n a2 nT

a n1 an 2

ann

行列式 D 称为行列式 D 的转置行列式. 性质1 行列式与它的转置行列式相等.

说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 性质2 互换行列式的两行(列),行列式变号.

例如

1 7 5 1 7 5 6 6 2 3 5 8 , 3 5 8 6 6 2

1 7 6 6 3 5

7 1 5 2 6 6 2. 5 3 8 85

推论 如果行列式有两行(列)完全相同，则 此行列式为零. 证明 互换相同的两行，有 D D, D 0.

性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都 乘以同一数 k ,等于用数 k 乘此行列式.

a11 kai 1

a12 a1n

a11

a12 a1n

kai 2 kain k a i 1 a i 2 a in a n 2 a nn a n1 a n 2 a nn

a n1

推论 行列式的某一行(列)中所有元素的公因 子可以提到行列式符号的外面.

性质4 行列式中如果有两行(列)元素成比 例，则此行列式为零. 证明 a11

a12 a1n

a11

a12 a1n

a i 1 a i 2 a in

a i 1 a i 2 a in

k 0. kai 1 kai 2 kain a i 1 a i 2 a in a n1 a n 2 a nn a n1 a n 2 a nn

性质5 若行列式的某一列(行)的元素都是两 数之和. a a (a a ) a11 12 1i 1i 1n

例如

a 21 D a n1

a 22 (a 2 i a i ) a 2 n 2 a n 2 (a ni a ) a nn ni

则D等于下列两个行列式之和： a11 a1i a1n a11 a1i a1n a 21 a 2 i a 2 n a 21 a i a 2 n 2 D a n1 a ni a nn a n1 a a nn ni

性质6 把行列式的某一列(行)的各元素乘以 同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行 列式不变. a11 a1i a1 j a1n 例如 a 21 a 2 i a 2 j a 2 j k

a n1 a ni a nj a nj a11 (a1i ka1 j ) a1 j a1n a21 (a2 i ka2 j ) a2 j a2 j ri krj an1 (ani kanj ) anj anj

利用行列式的上述性质，往往可以使行 列式的计算简化，但我们知道阶数越低的 行列式越容易计算。比如二阶行列式比三 阶行列式要容易计算得多。因此，我们自 然地提出，能否把行列式转化为一些阶数 较低的行列式来计算？为此先给出余子式 和代数余子式的概念。

二、余子式与代数余子式在 n 阶行列式中，把元素 a ij 所在的第 i 行和第 j 列划去后，留下来的 n 1 阶行列式叫做元素 a ij 的

余子式，记作 M ij .

记

Aij 1

i j

M ij, 叫做元素 a ij 的代数余子式.

例如

a11 a 21 D a 31 a 41

a12 a 22 a 32 a 422 3

a13 a 23 a 33 a 43

a14 a 24 a 34 a 44

a11 M 23 a 31 a 41

a12 a 32 a 42

a14 a 34 a 44

A23 1

M 23 M 23 .

a11 a21 D a31 a41

a12 a13 a14 a22 a23 a24 , a32 a33 a34 a42 a43 a441 2

a21 a23 a24 M12 a31 a33 a34 , a41 a43 a44

A12 1 M 12 M 12 . a11 a12 a13

M 44 a21 a22 a23 , A44 1 4 4 M 44 M 44 . a31 a32 a33

行列式的每个元素分别 对应着一个余子式和一 个代数余子式.

引理 一个 n 阶行列式，如果其中第 i 行所有 元素除 a ij外都为零，那末这行列式等于 a ij 与它的 代数余子式的乘积，即 D a ij Aij . a11 a12 a13 a14

例如 D

a 21 0 a 41

a 22 0 a 42

a 23 a 33 a 43a11

a 24 0 a 44a12 a14

1 3 3 a 33 a 21 a 22 a 24 . a 41 a42 a 44

三、行列式按行(列)展开法则定理3 行列式等于它的任一行(列)的各元 素与其对应的代数余子式乘积之和，即

D ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ain Ain证a11 a12

i 1,2, , n a1 n

D a i 1 0 0 0 a i 2 0 0 0 a in a n1 an2 a nn

a11 a12 a1n

a11 a12 a1n

a11 a12 a1n

a i 1 0 0 0 a i 2 0 0 0 a in a n1 a n 2 a nn a n1 a n 2 a nn a n1 a n 2 a nn ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 a in Ain

i 1,2, , n

推论 行列式任一行(列)的元素与另一行(列) 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即

a i 1 A j 1 a i 2 A j 2 a in A jn 0 , i j .

四、行列式的计算计算行列式常用方法：利用运算 ri krj 把行列式 化为上三角形行列式，从而算得行列式的值.1 1 2 3 3 7 3 9 2 14 10 1 3 5 1 6 2

例1 D 2 3 4

0 5 4

4 7 10

1 1 2 3 3 7

3 9 2 14

1 3 5 1 6

解

D 2 3

0 5

4 7

4 4 10 10 2 1 1 2 3 1

0 r2 3r1 2

0 0

1 4 7

0 2 14 10

2 1 6 2

3 5

4 4 10

1 1 2 0 0 1 r2 3r1 2 0 4 7 3 5

3 0 2 14 10

1 2 2 1 6 2

4 4 10

4 r2 2r1

1 1 2 0 0 1 0 2 0 7 3 5

3 0 4 14

1 3 2 1 6 2

4 4 10 10