第3章 离散傅里叶变换(DFT)

第3章 离散傅里叶变换(DFT)3.1 离散傅里叶变换的定义 3.2 离散傅里叶变换的基本性质 3.3 频率域采样 3.4 DFT的应用举例

本章作业1.(1)(3)(6) 2.(1)3.

8.12.(2)

15.16.

3.1 离散傅里叶变换的定义3.1.1 DFT的定义 设x(n)是一个长度为M的有限长序列， 则定义x(n) 的N点离散傅里叶变换为kn X (k ) DFT [ x(n)] x (n)WN , k=0, 1, , N-1 (3.1.1) n 0 N 1

X(k)的离散傅里叶逆变换为1 x(n ) IDFT [ X (k )] N

k 0

N 1

X ( k )WN kn , n=0, 1, , N-1 (3.1.2)

式中， e WN

j

2 N

N称为DFT变换区间长度N≥M

通常称(3.1.1)式和(3.1.2)式为离散傅里叶变换对。证明IDFT[X(k)]的唯一性 把(3.1.1)式代入(3.1.2)式有1 IDFT [ X ( k )] N m 0 N 1 N 1 k 0 N 1

mk [ x ( m )WN ]WN kn m 0

1 x(m) N

k 0

N 1

k WN ( m n )

1 N

Wk 0

N 1

k ( m n ) N

{01

m n MN , M M为整数 m n MN , M M为整数

比较

e

j ( m n )

2 , m n d 0, m n

所以， 在变换区间上满足下式：IDFT[X(k)]=x(n), 0≤n≤N-1

由此可见， (3.1.2)式定义的离散傅里叶变换是唯一的。 例 3.1.1 x(n)=R4(n) ,求x(n)的8点和16点DFT

设变换区间N=8, 则

X ( k ) x ( n )W8kn en 0 n 0

7

3

j

2 kn 8

e

3 j k 8

sin( k ) 2 , k 0,1, ,7 sin( k ) 8

设变换区间N=16, 则kn X (k ) x( n )W16 e n 0 n 0 15 3 j 2 kn 16

eFT:

j

3 k 16

sin( k ) 4 , k 0,1, ,15 sin( k ) 16M 1 n 0

X ( e j )

n

RM ( n )e j n

e j n

1 e j M 1 e j

e j M / 2 ( e j M / 2 e j M / 2 ) sin( M / 2) e j ( M 1) / 2 e j / 2 ( e j / 2 e j / 2 ) sin / 2 2 N

图 3.1.1 X(k)与X(e jω)的关系

3.1.2 DFT和Z变换的关系设序列x(n)的长度为N, 其Z变换和DFT分别为：

X ( z ) ZT [ x (n )] x (n ) z nn 0 kn X ( k ) DFT [ x (n )] x (n )WN n 0 N 1

N 1

0 k N-1

比较上面二式可得关系式

X (k ) X ( z )z e

j

2 k N

, ,

0 k N-1 0 k N-1

(3.1.3) (3.1.4)

X (k ) X ( z j )

2 k N

3.1.3 DFT的隐含周期性前面定义的DFT变换对中， x(n)与X(k)均为有限 kn W N 的周期性， 使(3.1.1)式和(3.1.2)式中 长序列， 但由于 的X(k)隐含周期性， 且周期均为N。 对任意整数m, 总 有 k ( k mN ) W W , k , m, N 均为整数N N

所以(3.1.1)式中， X(k)满足( X ( k mN ) x ( n )WN k mN ) n n 0 kn x ( n )WN X ( k ) N 1 n 0 N 1

同理可证明(3.1.2)式中 x(n+mN)=x(n)

实际上,任何周期为N的周

期序列 x(n)

都可以看作长度为N的有限长序列x(n) 的周 期延拓序列，而 x(n)则是x(n)的一个周期， 即 x ( n)

m

x(n mN )

(3.1.5) (3.1.6)

x(n) x(n) RN (n)

为了以后叙述方便， 将(3.1.5)式用如 下形式表示： x ( n) x ( n) N (3.1.7)

图 3.1.2 有限长序列及其周期延拓

式中x((n))N表示x(n)以N为周期的周期延拓序列， ((n))N表示n对N求余， 即如果 n=MN+n1, 0≤n1≤N-1, M为整数，

则((n))N=n1

例如， N 5, x(n) x(n) , 5

则有

x(5) x((5))5 x(0) x(6) x((6))5 x(1)所得结果符合图3.1.2所示的周期延拓规律。

如果x(n)的长度为N且 x(n) x((n)) N ,则 可写出 x (n)的离散傅里叶级数表示为系数kn kn kn X (k ) x (n )WN x (( n )) N WN x (n )WN (3.1.8) n 0 n 0 n 0 ~ N 1 ~ N 1 N 1

DFS

1 ~ 1 x ( n ) X ( k )WN kn N N~

n 0

N 1

X ( k )WN kn

(3.1.9)

式中

X (k ) X (k ) RN (k )

(3.1.10)

为 X ( k ) 的主值序列

3.2 离散傅里叶变换的基本性质3.2.1 线性性质 如果x1(n)和x2(n)是两个有限长序列， 长度分别 为N1和N2。 y(n)=ax1(n)+bx2(n)

式中a、 b为常数， 即N=max[N1, N2], 则y(n) 的N点DFT为Y(k)=DFT[y(n)]=aX1(k)+bX2[k],0≤k≤N-1(3.2.1)

其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N点DFT。

3.2.2 循环移位性质 1. 序列的循环移位

设x(n)为有限长序列， 长度为N, 则x(n)的循环移位定义为 y(n)=x((n+m))NRN(N) (3.2.2)

x(n)

周期

x(n) 延拓

移位

x((n m)) N

取主值 x(n m) 序列 xm (n)