名优课堂之2014中考数学二轮复习导学案九年级 第25讲：动态几何之定值问题探

动态几何之存在性问题探讨

【备战2014中考数学专题讲座】 专题25：动态几何之定值问题探讨

数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究，在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（滚动）等，就问题类型而言，有最值问题、面积问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。

16～18讲，我们从运动形式的角度对轴对称（翻折）、平移、旋转（滚动）问题进行了探讨， 19～21讲我们从运动对象的角度对点动、线动、面动问题进行了探讨，22～26讲我们从问题类型的角度对最值问题、面积问题、和差问题、定值问题和存在性问题进行探讨。

结合2013年全国各地中考的实例，我们从三方面进行动态几何之定值问题的探讨：（1）线段（和差）为定值问题；（2）面积（和差）为定值问题；（3）其它定值问题。

一、线段（和差）为定值问题：

典型例题：

例1：（2013年云南昆明3分）如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A，B重合），对角线AC，BD相交于点O，过点P分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E，F，交AD，BC于点M，N．下列结论：

222

①△APE≌△AME；②PM+PN=AC；③PE+PF=PO；④△POF∽△BNF；⑤当△PMN∽△AMP时，点P是AB的中点．其中正确的结论有【 】

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 解：∵ 四边形ABCD是正方形，

∴ ∠BAC=∠DAC=45°． ∵ 在△APE和△AME中，

BAC DAC

， AE AE

AEP AEM

∴ △APE≌△AME，故①正确；

1

PM， 21

同理，FP=FN=NP．

2

∴ PE=EM=

∵ 正方形ABCD中AC⊥BD，

动态几何之存在性问题探讨

又∵ PE⊥AC，PF⊥BD， ∴∠PEO=∠EOF=∠PFO=90°，且△APE中AE=PE ∴ 四边形PEOF是矩形． ∴ PF=OE， ∴ PE+PF=OA， 又∵ PE=EM=

111

PM，FP=FN=NP，OA=AC， 222

∴ PM+PN=AC，故②正确；

∵ 四边形PEOF是矩形， ∴ PE=OF，

222

在直角△OPF中，OF+PF=PO，

222∴ PE+PF=PO，故③正确． ∵ △BNF是等腰直角三角形，而△POF不一定是，故④错误； ∵ △AMP是等腰直角三角形，当△PMN∽△AMP时，△PMN是等腰直角三角形． ∴ PM=PN， 又∵ △AMP和△BPN都是等腰直角三角形， ∴ AP=BP，即P时AB的中点．故⑤正确． 故选B． 例2：（2013年山东菏泽3分）如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中

1点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=CE时，

3

EP+BP=．

解：如图，延长BQ交射线EF于M， ∵E、F分别是AB、AC的中点， ∴EF∥BC， ∴∠M=∠CBM， ∵BQ是∠CBP的平分线，∴∠PBM=∠CBM， ∴∠M=∠PBM，∴BP=PM， ∴EP+BP=EP+PM=EM， ∵CQ=

1

CE，∴EQ=2CQ， 3

由EF∥BC得，△MEQ∽△BCQ，

EMEQ∴==2， BCCQ

∴EM=2BC=2×6=12，

动态几何之存在性问题探讨

即EP+BP=12． 故答案为：12． 例3：（2013年黑龙江绥化8分）已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边做正方形ADEF，连接CF （1）如图1，当点D在线段BC上时．求证CF+CD=BC；

（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；

（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变； ①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系； ②若正方形ADEF

的边长为AE，DF相交于点O，连接OC．求OC的长度．

解：（1）∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠ACB=∠ABC=45°，∴AB=AC， ∵四边形ADEF是正方形， ∴AD=AF，∠DAF=90°， ∵∠BAD=90°﹣∠DAC，∠CAF=90°﹣∠DAC， ∴∠BAD=∠CAF， 则在△BAD和△CAF中，

AB AC

△BAD≌△CAF（SAS）， BAD CAF， ∴

AD AF

∴BD=CF， ∵BD+CD=BC， ∴CF+CD=BC； （2）CF﹣CD=BC； （3）①CD﹣CF=BC ②∵∠BAC=90°，∠ABC=45°， ∴∠ACB=∠ABC=45°，∴AB=AC， ∵四边形ADEF是正方形， ∴AD=AF，∠DAF=90°， ∵∠BAD=90°﹣∠BAF，∠CAF=90°﹣∠BAF， ∴∠BAD=∠CAF，

AB AC

∵在△BAD和△CAF中， BAD CAF

AD AF

∴△BAD≌△CAF（SAS）， ∴∠ACF=∠ABD， ∵∠ABC=45°，

动态几何之存在性问题探讨

∴∠ABD=135°， ∴∠ACF=∠ABD=135°， ∴∠FCD=90°， ∴△FCD是直角三角形．

∵正方形ADEF的边长为2且对角线AE、DF相交于点O． ∴DF=2AD=4，O为DF中点． ∴OC=

1

DF=2． 2

例4：（2013年云南昭通附加题14分）已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作菱形ADEF（A、D、E、F按逆时针排列），使 …… 此处隐藏：8503字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……