人教版选修4-5高中数学：1.2.3《绝对值不等式的解法(二)》ppt课件

第一讲

不等式和绝对值不等式1.2 绝对值不等式

1.2.3

绝对值不等式的解法(二)

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|x-a|+|x-b|≥c(或|x-a|+|x-b|≤c) 型不等式的解法 解不等式|x+1|+|x-1|≥3.栏 目 链 接

分析：本题可以用分段讨论法或数形结合法求解.对于形如|x+a|+|x+b|的代数式，可以认为是 分段函数.

解析：解法一

如下图，设数轴上与-1,1对应

的点分别为A,B,那么A,B两点的距离和为2,因此区间[-1,1]上的数都不是不等式的解.设在 A点左侧有一点A1到A,B两点的距离和为3,A1对 应数轴上的x.栏 目 链 接

3 ∴-1-x+1-x=3,得 x=- , 2 同理设 B 点右侧有一点 B1 到 A,B 两点距离和为 3,B1 对应数 轴上的 x, 3 ∴x-1+x-(-1)=3.∴x= . 2 从数轴上可看到，点 A1,B1 之间的点到 A,B 的距离之和都小 于 3;点 A1 的左边或点 B1 的右边的任何点到 A,B 的距离之和都大 于 3. 3 3 ∴原不等式的解集是(-∞,- ]∪[ ,+∞). 2 2栏 目 链 接

解法二 当 x≤-1 时，原不等式可以化为-(x+1)-(x-1)≥3, 3 解得 x≤- . 2 当-1<x<1 时，原不等式可以化为 x+1-(x-1)≥3,即 2≥3.不 成立，无解. 当 x≥1 时，原不等式可以化为 x+1+x-1≥3. 3 所以 x≥ . 2 3 3 综上，可知原不等式的解集为{x|x≤- 或 x≥ }. 2 2栏 目 链 接

解法三 将原不等式转化为|x+1|+|x-1|-3≥0. -2x-3,x≤-1, 构造函数 y=|x+1|+|x-1|-3,即 y= -1,-1<x<1, 2x-3,x≥1. 作出函数的图象(如下图).栏 目 链 接

3 3 函数的零点是- , . 2 2 3 3 从图象可知， 当 x≤- 或 x≥ 时， y≥0, 即|x+1|+|x-1|-3≥0. 2 2 3 3 所以原不等式的解集为 -∞,-2 ∪ 2,+∞ .

点评：这三种解法以第二种解法最重要，但是其中的分段讨论要 遵循分类讨论的原则“不重不漏”;第一种解法中，关键是找到一些 特殊的点如 A1,B1;第三种解法中，准确画出图象，是 y=|x+1|+|x -1|-3 的图象，而不是 y=|x+1|+|x-1|的，其次函数的零点要找 准.这些都是求解集的关键.

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变式训练 1 . (2014· 广东高考理科 ) 不等式 |x - 1| + |x + 2|≥5 的解集为 ________. x≤-2, 解析：方法一：由 得 x≤-3; -(x-1)-(x+2)≥5, -2<x<1, 由 无解； -(x-1)+(x+2)≥5, x≥1, 由 得 x≥2. (x-1)+(x+2)≥5栏 目 链 接

即所求的解集为{x|x≤-3 或 x≥2}.

方法二：在数轴上，点-2 与点 1 的距离为 3,所以往左右边界 各找距离为 1 的两个点，即点-3 到点-2 与点 1 的距离之和为 5, 目 点 2

到点-2 与点的 1 的距离之和也为 5, 原不等式的解集为{x|x≤- 3 或 x≥2}. 答案：{x|x≤-3 或 x≥2}.链 接 栏

含绝对值的不等式的恒成立问题 对任意实数 x,若不等式|x+1|-|x-2|>k 恒成立，则 k 的取 值范围是( )栏 目 链 接

A.k<3 B.k<-3 C.k≤3 D.k≤-3 解析：解法一 此题可用分类讨论的思想，用零点分段去掉绝对 值符号.

x≤-1, ① -(x+1)+(x-2)>k; -1<x<2, ② (x+1)+(x-2)>k; x≥2, ③ (x+1)-(x-2)>k.

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由①得 k<-3.由②得-1<x<2 时，k<2x-1.而 2x-1∈(-3, 3).由③得 k<3.∵要对任意 x 都使该不等式成立，∴当 k<-3 时， ①②③都可以满足.

解法二

虽然解法1容易理解，但较繁琐，此类题也

可以根据绝对值的几何意义求解，方法很巧妙，也 具有一般性，要注意|x-a|可以看做在数轴上点x到 点a的距离.根据绝对值的几何意义(如图所示):栏 目 链 接

|x+1|可看做点 x 到点-1 的距离，|x-2|可以看做点 x 到点 2 的 距离，因此|x+1|-|x-2|即为数轴上任意一点 x 到点-1 的距离与到 点 2 的距离的差，记作(*),要使它大于 k 恒成立，就要讨论点 x 的 位置. ①当点 x 在点-1 的左侧时，如图所示的点 R,则(*)恒为-3. ②当点 x 在点 2 的右侧时，如上图所示的点 T,则(*)恒为 3. ③当-1≤x≤2 时，如图所示的点 S,则-3≤(*)≤3. 由①②③可知无论 x 为何实数，(*)的范围都是-3≤(*)≤3.因此 若|x+1|-|x-2|>k,只需 k<-3.栏 目 链 接

解法三

此题也可用函数图象的方法来解，这种

方法也是今后经常用到的.令y=|x+1|-|x-2|, 在平面直角坐标系中作出其图象，如图所示.

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-3,x≤-1, y= 2x-1,-1<x<2, 3,x≥2, 由图得到-3≤y=|x+1|-|x-2|≤3.以下同解法二. 答案：B 点评： 不等式的恒成立问题(不等式解集为 R 或为空集都属恒 成立问题)都可转化为最值问题，即 f(x)<a 恒成立 f(x)max<a,f(x) >a 恒成立 f(x)min>a.栏 目 链 接