3_2转动定律转动惯量平行轴定理

发布时间：2024-08-30

刚体的转动

第三章刚体的转动

3 – 2 转动定律转动惯量平行轴定理

力矩 v 刚体绕 O z 轴旋转 , 力 F 作用在刚体上点 P , 且在转动 v 为由点到力的平面内, 平面内 r 为由点O 作用点 P 的径矢 . v Z F 对转轴v 的力矩 v

一

v MzvMO

M = Fr sin θ = Fd

v M = r ×F

v r

v F*

v v ∑ Fi = 0 , ∑ M i = 0

d v F

: 力臂

v F

v v ∑ Fi = 0 , ∑ M i ≠ 0

v F

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3 – 2 转动定律转动惯量平行轴定理

讨论

v 1)若力 F 不在转动平面内，把力分解为平行和垂不在转动平面内， )直于转轴方向的两个分量

v v v F = Fz + F⊥ r

其中 Fz r 对转轴的力矩为零，矩为零，故 F 对转轴的力矩 v v

v v k Fz

v Fθv F⊥

v M z k = r × F⊥ M z = rF⊥ sin θ

v r

2)合力矩等于各分力矩的矢量和 ) 力矩等于各分力矩的矢量和

v v v v M = M1 + M 2 + M3 + L

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3) 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消 ) 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消

v MijO

v rj

v Mji

v iF ri ij

j v Fji v

v v M ij = M ji

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3 – 2 转动定律转动惯量平行轴定理

二转动定律 1)单个质点 m 与转 ) 轴刚性连接

zv MO

Ft = mat = mrβ M = rF sin θ 2 M = rFt = mr β 2 M = mr β

v v Ft Fm v

v r

v v 质量元受外质量元受外力 F ,内力 f i i e i 2 M i + M i = mi ri β外力矩内力矩

2)刚体 )

v ri m iv fi

v Fi

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3 – 2 转动定律转动惯量平行轴定理

M ie + ∑ M ii = ∑ mi ri 2 β ∑i i i

Q M = Mi ij

i ji

∴∑ M = 0i i i

v ri2

miv fi

v Fi

∑Mi

e i

= ( ∑ m i ri ) β2 i

定义转动惯量转动定律

J = ∑ mi rii

J = ∫ r dm

M = Jβ

M β= J

刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成合外力矩与刚体的转动惯量成反比。转动惯量成反比正比，与刚体的转动惯量成反比。

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三转动惯量

J = ∑ mi ri 2 , J = ∫ r 2dmi

物理意义：转动惯性的量度。物理意义：转动惯性的量度。转动惯量的计算方法质量离散分布刚体的转动惯量(由若干质点刚性连 ① 质量离散分布刚体的转动惯量由若干质点刚性连接组成的刚体) 接组成的刚体

J = ∑ mi ri = m r + m r + L2 2 11 2 2 2 i

② 质量连续分布刚体的转动惯量

J = ∑ mi ri = ∫ r dm2 2 i

:质量元

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3 – 2 转动定律转动惯量平行轴定理

② 质量连续分布刚体的转动惯量

J = ∑ mi ri = ∫ r dm2 2 i

:质量元

对质量线分布的刚体：对质量线分布的刚体： dm

= λdl

:质量线密度

对质量面分布的刚体：对质量面分布的刚体： dm

σ :质量面密度ρ:质量体密度

= σ dS= ρdV

对质量体分布的刚体：对质量体分布的刚体：dm

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3 – 2 转动定律转动惯量平行轴定理

质量为m、长为l的均匀细长棒，例3-1 一质量为、长为的均匀细长棒，求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量。过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量。 O r l 2

rdr

O′

l 2

O´

解设棒的线密度为 λ ,取一距离转轴 OO′ 为处的质量元 dm = λdr dJ = r 2 dm = λr 2 dr

1 3 J = 2λ ∫ r dr = λl 0 12 1 = ml 2 12l/2 2

如转轴过端点垂直于棒

1 2 J = λ ∫ r dr = ml 0 3l 2

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3 – 2 转动定律转动惯量平行轴定理

半径为R、质量为的圆环的圆环，例3-2 半径为、质量为M的圆环，绕垂直于圆环平面的质心轴转动，求其转动惯量。环平面的质心轴转动，求其转动惯量。 z 任取一质量元dm 解：任取一质量元

dJ = R 2 dm圆环对垂直于环面的质心轴的转动惯量为 O R dm

J = ∫ dJ = ∫ R dm = MR2 0

一质量为m、半径为R的均匀圆盘的均匀圆盘，例3-3 一质量为、半径为的均匀圆盘，求通过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量 . 在盘上取半径为r, 解设圆盘面密度为σ,在盘上取半径为，宽为 dr的圆环的圆环

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3 – 2 转动定律转动惯量平行轴定理

圆环质量

dm = σ 2 rdr3

圆环对轴的转动惯量

dJ = r dm = 2 σr dr R σ 3 4 J = ∫ 2π σ r dr = π R 02

R R

r dr

而注意

σ =m π R

所以

1 2 J = mR 2

转动惯量的大小取决于刚体的质量、转动惯量的大小取决于刚体的质量、质量形状及转轴的位置。形状及转轴的位置。

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3 – 2 转动定律转动惯量平行轴定理

平行轴定理质量为m的刚体的刚体，质量为的刚体，如果对其质心轴的转动惯量为JC ,则对任一与该轴平行，相距为d 对任一与该轴平行，相距为的转轴的转动惯量

J O = J C + md1 J P = mR2 + mR2 2

圆盘对P 圆盘对轴的转动惯量 P

R O m

四转动定律应用举例对平动的物体应用牛顿定律；对平动的物体应用牛顿定律；对转动的物体应用转动定律；建立平动与转动之间的关系。用转动定律；建立平动与转动之间的关系。

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3 – 2 转动定律转动惯量平行轴定理

如图，例3-4 如图，轻绳绕过水平光滑桌面上的定滑连接两物体A和，、的质量分别为为的质量分别为为m 轮C连接两物体和B,A、B的质量分别为为 A、 mB, 连接两物体滑轮视为圆盘，其质量为m 半径为滑轮视为圆盘，其质量为 C、半径为 R

,AC水平并与水平并与轴垂直，绳与滑轮无相对滑动，不计轴处摩擦，轴垂直，绳与滑轮无相对滑动，不计轴处摩擦，求B 的加速度，以及AC、间绳的张力大小间绳的张力大小。的加速度，以及、BC间绳的张力大小。物体A、解：物体、B C 作平动，滑轮作转动。作平动，滑轮作转动。 A mA mC 隔离物体分别对物体 A、B 及滑轮作受力、分析，分析，取合适的坐标系，运用牛顿第二定 mB B 律、转动定律列方程。

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第三章刚体的转动

3 – 2 转动定律转动惯量平行轴定理 C 物体A、作平动作平动，解：物体、B作平动，滑轮作转动。滑轮作转动。隔离物体分别对物体A、别对物体、B 及滑轮作受力分析，取坐标如图，受力分析，取坐标如图，运用牛顿第二定律、转动定律列方程。动定律列方程。

mA v FN v mA FT1 v O x PA

v FT1

mC v ′ FT2

mB Bv ′ FT2 mB v PB yO

FT1 = mA amB g FT2 = mB aRFT2 RFT1 = Jβ

v ′ FT1v PC

v FC

v FT2

a = Rβ