2019届二轮(文科数学) 专题突破练13 求数列的通项及前n项和 专题卷 (全国通用

专题突破练13求数列的通项及前n项和1.(2018江西南昌三模,文17)已知数列{a n}的各项均为正数,且-2na n-(2n+1)=0,n∈N.

(1)求数列{a n}的通项公式;

(2)若b n=2n·a n,求数列{b n}的前n项和T n.

2.已知{a n}为公差不为零的等差数列,其中a1,a2,a5成等比数列,a3+a4=12.

(1)求数列{a n}的通项公式;

(2)记b n=,设{b n}的前n项和为S n,求最小的正整数n,使得S n>.

3.(2018山西太原三模,17)已知数列{a n}满足a1=,a n+1=.

(1)证明数列是等差数列,并求{a n}的通项公式;

(2)若数列{b n}满足b n=,求数列{b n}的前n项和S n.

4.(2018山东师大附中一模,文17)已知等差数列{a n}是递增数列,且满足a4·a7=15,a3+a8=8.

(1)求数列{a n}的通项公式;

(2)令b n=(n≥2),b1=,求数列{b n}的前n项和S n.

5.已知数列{a n}满足a1=1,a2=3,a n+2=3a n+1-2a n(n∈N).

(1)证明:数列{a n+1-a n}是等比数列;

(2)求数列{a n}的通项公式和前n项和S n.

6.已知等差数列{a n}满足:a n+1>a n,a1=1,该数列的前三项分别加上1,1,3后成等比数列,a n+2log2b n=-1.

(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;

(2)求数列{a n·b n}的前n项和T n.

7.(2018宁夏银川一中一模,理17)设S n为数列{a n}的前n项和,已知a n>0,+2a n=4S n+3.

(1)求{a n}的通项公式:

(2)设b n=,求数列{b n}的前n项和.

8.设S n是数列{a n}的前n项和,a n>0,且4S n=a n(a n+2).

(1)求数列{a n}的通项公式;

(2)设b n=,T n=b1+b2+…+b n,求证:T n<.

参考答案

专题突破练13求数列的通项及

前n项和

1.解(1)由-2na n-(2n+1)=0,得[a n-(2n+1)](a n+1)=0,∵数列{a n}的各项均为正数,∴

a n=2n+1.

(2)由b n=2n·a n=2n·(2n+1),

∴T n=2×3+22×5+23×7+…+2n×(2n+1), ①

2T n=22×3+23×5+24×7+…+2n+1×(2n+1), ②

由①-②得:-T n=6+2(22+23+…+2n)-2n+1·(2n+1)

=6+2×-2n+1·(2n+1)=-2-2n+1·(2n-1).

所以T n=2+(2n-1)·2n+1.

2.解(1)设等差数列{a n}的公差为d,

∵a1,a2,a5成等比数列,a3+a4=12,

∴

即

∵d≠0,∴解得

∴a n=2n-1,n∈N.

(2)∵b n=,∴S n=1-

+…+=1-.

令1-,解得n>1 008,

故所求的n=1 009.

3.(1)证明∵a n+1=,

∴=2,

∴是等差数列,

∴+(n-1)×2=2+2n-2=2n,即a n=.

(2)解∵b n=,∴S n=b1+b2+…+b n=1++…+,

则S n=+…+,

两式相减得S n=1++…+=2, ∴S n=4-.

4.解(1)

解得

∴d=,

∴a n=1+(n-1)=n+.

(2)b n=

(n≥2),b1=满足上式,

∴{b n}的通项公式为

b n=.S n=+…+

.

5.(1)证明∵a n+2=3a n+1-2a n(n∈N),

∴a n+2-a n+1=2(a n+1-a n)(n∈N),∴=2.

∵a1=1,a2=3,

∴数列{a n+1-a n}是以a2-a1=2为首项,公比为2的等比数列.

(2)解由(1)得,a n+1-a n=2n(n∈N),

∴a n=(a n-a n-1)+(a n-1-a n-2)+…+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+…+2+1=2n-1,(n∈N).

S n=(2-1)+(22-1)+(23-1)+…+(2n-1)=(2+22+23+…+2n)-n=-n=2n+1-2-n.

6.解(1)设等差数列{a n}的公差为d,且d>0,由a1=1,a2=1+d,a3=1+2d,分别加上1,1,3后成等比数列,得(2+d)2=2(4+2d),解得d=2,∴a n=1+(n-1)×2=2n-1.∵a n+2log2b n=-1,

∴log2b n=-n,即b n=.

(2)由(1)得a n·b n=.T n=+…+,①

T n=+…+,②

①-②,得T n=+2+…+.

∴T n=1+=3-=3-.

7.解(1)由+2a n=4S n+3,可知+2a n+1=4S n+1+3.

两式相减,得+2(a n+1-a n)=4a n+1,即2(a n+1+a n)==(a n+1+a n)(a n+1-a n).

∵a n>0,∴a n+1-a n=2.

∵+2a1=4a1+3,

∴a1=-1(舍)或a1=3.

则{a n}是首项为3,公差d=2的等差数列,∴{a n}的通项公式a n=3+2(n-1)=2n+1.

(2)∵a n=2n+1,∴b n=,

∴数列{b n}的前n项和

T n=+…+.

8.(1)解4S n=a n(a n+2),①

当n=1时,4a1=+2a1,即a1=2.

当n≥2时,4S n-1=a n-1(a n-1+2).②

由①-②得4a n=+2a n-2a n-1,即2(a n+a n-1)=(a n+a n-1)·(a n-a n-1).∵a n>0,∴a n-a n-=2,

1

∴a n=2+2(n-1)=2n.

(2)证明∵b n=,

∴T n=b1+b2+…+b n=1-+…+1-<.