高等数学下第一章大作业详解

第一章 函数与极限

第一章

函数与极限业

大 作

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第一章

函数与极限

一、选择题1.下列函数中， ( )是初等函数.

A.

y sgn x B.

y arcsin x C.

y [ x] D.

x 1 x 0 y x 1 x 0

2. 当 x 0 时， (

)是关于 x 的三阶无穷小.

A. tan x B. ln(1 x 2 ) C. sin kx 3. 函数 f ( x) x x 2 x 0 x 0

a x 3 a (a 0) D. 1 cos x在 x 0 处连续，则 k (

).

A. 0 B. 1 C. 1 D. 2

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函数与极限

4. 设 f ( x)

1 e 1 e

1 x 1 x

则 x 0 是 f ( x) 的(

)

A. 连续点1 x

B. 可去间断点

C. 跳跃间断点

D. 第二类间断点

5 lim ln(1 x) x 0

( A) 1 ;

(B) ;

(C ) 0 ;

( D) 不存在.

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函数与极限

二、填空题 [-1,1] 1. 设 f ( x) 的定义域为 [1,2] 则 f (1 x 2 ) 的定义域为 _______ .1

1 ln a x 2. 设 f ( x) a (a 0, a 1), 则 lim 2 ln[ f (1) f (2) f (n)] ______ . 2 n n3. 若当 x x0 时， f ( x) 与 g ( x) 是等价无穷小，则 lim

ln(1 f ( x)) 1 _____. x x0 ln( 1 g ( x))

-1 1 ex _____. 4. lim x 0 x sin 2 x x a 5. 设 f ( x) b x sin 1 x

2 b ______ 2 . x 0 为连续函数，则 a ____,x 0

x 0

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三、计算题

x3 1 1. lim 2 x 1 x 2 x 32 ( x 1)( x 2 x 1) x x 1 lim lim x 1 ( x 1)( x 3) x 1 x 3

3 4

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函数与极限

3 x 1 x 2. lim x 1 x2 x 2

( 3 x 1 x )( 3 x 1 x ) lim x 1 ( x 1)( x 2)( 3 x 1 x ) 2( x 1) lim x 1 ( x 1)( x 2)( 3 x 1 x )=

2 6

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2 1 4 3 4x3 2x2 1 x x 4 3. lim 3 lim x x 5 x 2 6 x 5 6 1 3 x xln(1 x 2 ) x2 4. lim lim 2 2 x 0 1 cos x x 0 x 2

5. lim(1 3 x )x 0

2 sin x

lim(1 3 x )x 0

1 6x 3 x sin x

e6

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函数与极限

x a x 6. 若 lim 9 x x a x

求a.2 ax x a

两边取极限：

x a 2 a 2a x a 1 x a x a

e 2a 9

a ln 3

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四、证明题

1 1 1 1.证明： lim 2 1 2 2 n n 1 n 2 n n n n 1 n 2 2 2 n n k 1 n k n 1

n n lim 2

lim 2 1 n n n n n 1

.

lim n k 1

n

1 1 2 n k9总界面 上页 下页 返回 结束

第一章2.(选作题)设 0

函数与极限证明数列 { xn }

x1 1,

xn 1 xn (1 xn ) (n N )

的极限存在，并求这个极限值.

证明：由于 x2 x1 (1 x1 ) 0 x1 1 0 1 x1 1 0 x2 1 又由 x3

x2 (1 x2 ), 0 x2 1, 0 x3 1

归纳可得 0 xn 1 { xn } 有界.2 x x x (1 x ) x x 而 n 1 n n n n n 0,

于是数列 { xn } 单调有下界，由此知数列收敛.

xn A ,在 令 lim n

xn 1 xn (1 xn ) 两边取极限，得 A 0 .

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函数与极限

3.设

f ( x ) 在[a, b] 上连续，且 a f ( x ) b f ( ) .

,证明：在[ a, b] 上至少

存在一点 , 使

证明：构造辅助函数 若

F ( x) f ( x) x ,它在[a, b]或

上连续.

f (a ) a

f (b ) b ,则 a

或

b

,结论成立.

若不然，则

F ( a ) f ( a ) a 0,

F (b ) f (b ) b 0

根据连续函数零点定理，必存在

[a, b] ,使. F ( ) 0, f ( )

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函数与极限

1 x 2n 2.讨论函数f ( x ) lim x的连续性，若有间断点， 2 n n 1 x 判断其类型。1 x 2n x x 2 n 当 | x | 1时， lim n 1 x

当 | x | 1时,

1 x 2n lim x 0 2 n n 1 x1 x 2n lim x x n 1 x 2 n

当 | x | 1时,

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函数与极限

x | x | 1 f ( x ) 0 | x | 1 x | x | 1 lim f ( x ) 1, lim f ( x ) 1; lim f ( x ) 1

x 1

x 1

x 1

lim f ( x ) 1,

x 1

所以x 1是f ( x )的第一类跳跃间断点。13总界面 上页 下页 返回 结束