现代控制理论的讲义,从介绍现代控制理论的基础出发,详细介绍控制理论中的常用方法。最后有控制理论的习题和解决问题的专题讨论

第4章 稳定性与李雅普诺夫方法在控制系统的分析和设计中，首先要解决系统的 稳定性问题。动力学系统的稳定机制与其本身的结构 密切相关，如何根据动力学系统的构成分析其稳定性 受到普遍的重视。

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演示

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主要内容：4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义

4.2 李雅普诺夫第一法4.3 李雅普诺夫第二法

4.4 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用

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一个控制系统要能够正常工作首要条件是保证系 统稳定。因此，控制系统的稳定性分析是系统分析的 首要任务。 1892 年，俄国学者李雅普诺夫( Lyapunov ) 在《运动稳定性的一般问题》一文中，提出了著名的 李雅普诺夫稳定性理论。该理论作为稳定性判别的通 用方法，适用于各类控制系统。李雅普诺夫稳定性理 论的核心是提出了判断系统稳定性的两种方法，分别 被称为李雅普诺夫第一法和第二法。

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李氏第一法是通过求解系统的微分方程， 然后根据解的性质来判断系统的稳定性，其基本思 路与分析方法和经典理论是一致的。该方法又称为 间接法。 而李氏第二法的特点是不求解系统的微 分方程(或状态方程),而是首先构造一个类似于 能量函数的李雅普诺夫函数，然后再根据李雅普诺 夫函数的性质直接判断系统的稳定性。因此，该方 法又称为直接法。

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4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义稳定性是系统性能研究的首要问题！ 控制系统本身处于平衡状态，受到扰动，产生偏差。 扰动消失后，偏差逐渐变小，能恢复到原来的平衡

状态，则稳定。偏差逐渐变大，不能恢复到原来的平衡状态，则不稳定。 系统在初始偏差作用下，过渡过程的收敛性。

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经典控制理论对稳定性分析的局限性 (1)局限于描述线性定常系统 (2)局限于研究系统的外部稳定性

经典控制理论的稳定性判据 劳斯(Routh)判据 奈氏(Nyquist)判据

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现代控制理论对稳定性分析的特点 (1)稳定判据可用于线性/非线性，定常/时变系统；

(2)研究系统的外部稳定性和内部稳定性； (3)能够反映系统稳定的本质特征。

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稳定性指的是系统在平衡状态下受到扰动后，系 统自由运动的性质。因此，系统的稳定性是相对于系 统的平衡状态而言的。 对于线性定常系统，通常只存在唯一的一个平衡 状态，所以，只有线性定常系统才能笼统地将平衡点 的稳定性视为整个系统的稳定性。而对于其他系统， 平衡点不止一个，系统中不同的平衡点有着不同的稳 定性，我们只能讨论某一平衡状态的稳定性。 为此，首先给出关于平衡状态的定义，然后再介绍 李雅普诺夫关于稳定性的定义。

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4.1.1

系统状

态的运动及平衡状态

设系统方程为： n维状态向量

f (x, t ) x

不受外力

n维向量函数

f一般为非线性时变函数，若不显 含t,则为非线性定常。 方程的解为： x (t; x0 , t0 ) 初始状态向量 初始时刻

(t0 ; x0 , t0 ) x0

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f (x, t ) x 0 ,则称 对于上述系统，若对所有的t,状态x满足 x 该状态x为平衡状态，记为xe。故有

f(xe,t)= 0

由平衡状态xe在状态空间中所确定的点，称为平衡点平衡状态：各分量相对于时间不再发生变化 所有状态的变化速度为零，即是静止状态 。

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对于线性定常系统，其状态方程为 Ax x

系统的平衡状态应满足Axe = 0。 当 A 是非奇异的，则系统存在唯一的一个平 衡状态xe = 0。 当 A 是奇异的，则系统有无穷多个平衡状态。 显然对线性定常系统来说，当A是非奇异的， 只有坐标原点是系统的唯一的一个平衡点。

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对于非线性系统，方程f( xe,t) = 0的解可能 有多个，即可能有多个平衡状态。如 1 x1 x 3 x x x x 2 2 1 2 x1 0 3 x x x 2 2 0 1

解得

x1 0 x2 0,1, 1

因此该系统有三个平衡状态 0 xe1 0 0 xe2 1

0 xe3 1

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例：机械位移系统

(t ) x(t ), x

kx x m x x1 x 选 x x2 x 1 x2 x 状态方程 k 2 x1 x2 x m m 平衡状态

x2

xe

x1

0 xe 0

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例：单摆

Mg sin 0 解： ML

L

选取：

x2 0 平衡状态： x 0 g sin x1 0 L x2 e 0 sin x1e 0 x n (n 0, 1, 2 ) e 0

M

1 x2 x 状态方程： g 2 sin x1 x L

x1 , x2

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例：单摆

Mg sin 0 解： ML

1 x2 x 状态方程： g M 2 sin x1 x L x2 平衡状态： n x e (n 0, 1, 2 ) 0 x e x e x e x ex e x1

L

选取：

x1 , x2

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平衡状态的稳定性：系统在平衡状态邻域内局部的(小范围)动态

行为。线性系统：只有一个平衡状态，平衡状态的稳定性

能够表征整个系统的稳定性。非线性系统：有多个平衡状态，且可能稳定性不同， 需将每个平衡点分别讨论。