第二章2 序列傅里叶变换

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2.4离散时间信号和系统的频域表示2.4.1线性非时变系统对复指数序列 e j n的响应x ( n )= A e j n, h ( n )为系统的单位采样响设输入

应，求得输出 y ( n)= x( n) h (n)=k=

h(k ) Ax (n k )h(k )e jk= n k= (n k )

=A= Ae j

h( k )e

j k

= Ae j n H (e j )西北大学信息科学与技术学院Created with SmartPrinter trail version http://www.77cn.com.cn

2007年

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线性非时变系统对复指数序列的响应是一个与输入序列具有相同频率的复指数序列，但输出复指数序列的幅度和相位与输入序列不同，输出幅度等于输入幅度乘以的 H (e j )的幅度，输出的相位等于输入相位加上 H (e j )的相位。y ( n )= H (e j ) A e jn

=| H (e

j

)| Ae

j(

n+ a rg[ H ( e j )])

上式中，符号 arg表示求相位。因此，当一个复指数序列作用到线性非时变系统时，输出的特征完全由 H (e j )的值决定，H (e j )由系统的 h(n)所决定。西北大学信息科学与技术学院Created with SmartPrinter trail version http://www.77cn.com.cn

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2.4.2频率响应对离散系统，频率响应定义如下：H (e j )=n=

h(n)e

j n

频率响应的物理意义可以解释为：它描述了系统对不同频率的正弦、余弦和复指数序列的响应能力。当输入为正弦、余弦和复指数序列时，输出仍为相同频率的序列，唯一改变的是输出序列的幅度和相位，分别受频率响应的幅度和相位的影响。西北大学信息科学与技术学院Created with SmartPrinter trail version http://www.77cn.com.cn

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频率响应可以分成幅度和相位两部分,即H (e )= H (e ) ej j jarg[ H (e j )]

H (e j )称作“幅频响应”,它刻画了系统对

输入幅度的影响，表示了幅度变化的倍数。 arg[ H (e j )]称作“相频响应”,它刻画了系统对输入相位的影响，表示了增加或减小的相位值。

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虽然离散系统和模拟系统的频率响应意义很类似，但要注意 H (e j )的如下特点： H (e j )是ω的 (1)虽然讨论的是离散系统，但连续函数； H (e j )是ω的周期函数，周期为2π。 (2)因此，对频率响应只需考察它的一个周期，即[0, 2 )或[, )。

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2.4.3序列的傅里叶变换X (e j )=n=

x(n)e

j n

1 x ( n)= 2

X (e j )e j n d

第一式称作分析式，X (e j )表示了序列 x (n)中不同频率的正弦信号所占比重的相对大小，具有分析作用；第二式表示序列 x (n)是由不同频率的正弦信号线性叠加构成，具有综合作用，称作综合式。第一式称作傅里叶正变换，第二式称作傅里叶反变换。西北大学信息科学与技术学院Created with SmartPrinter t

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根据级数理论，序列傅里叶变换存在，也就是级数求和收敛的充要条件是x(n)<n=

即序列是绝对可和的。对系统而言，当它是稳定系统时，系统频率响应是存在的，条件为h(n)<n=

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2.4.4描述系统输入和输出关系的频域方法设系统输入x(n)的傅里叶变换存在，即1 x (n)= 2 X (e j )e j n d

x(n)中的各复指数分量为 X (e j )e j n,它的响应为 H (e j ) X (e j )e j n,根据叠加原理，各分量的响应的叠加(积分)就是总的响应。即 1 j j n jy (n)= 2 X (e )e H (e )d1= 2 X (e j ) H (e j )e j n d2007年

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所以可得1 y ( n)= 2 Y (e j )e j n d

Y (e j )= X (e j ) H (e j )

上式就是描述线性非时变系统输入和输出关系的频域表达式，它是卷积关系式在频域的反映，对卷积表达式两边作序列傅里叶变换，容易得到相同的关系式。

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