2013-2014学年八年级数学上册 13.4 课题学习 最短路径问题课件 (新版)新人教版

13.4 课题学习 最短路径问题

如图所示，从A地到B地有三条路 可供选择，你会选走哪条路最近？ 你的理由是什么？C A

①D ②

E B

③

两点之间,线段最短

F

(Ⅰ)两点在一条直线异侧已知：如图，A,B在直线L的两 侧，在L上求一点P,使得 PA+PB最小。连接AB,线段AB与直线L的交点P ,就是所求。P

思考？??为什么这样做就能得到最短距 离呢？根据：两点之间线段最短.

引入新知

引言： 前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线 段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段 中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问 题.现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节 将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”.

探索新知问题1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久 负盛名的学者，名叫海伦.有一天，一位将军专程拜访 海伦，求教一个百思不得其解的问题： 从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然 后到B 地.到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程 最短？

BA l

探索新知精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题.这个问题后来被称为“将军饮马 问题”. 你能将这个问题抽象为数学问题吗？

BA l

探索新知追问1 这是一个实际问题，你打算首先做什么？

将A,B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线. · A· lB

探索新知追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？

(1)从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； (2)在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A, B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地 到饮马地点，再回到B 地的路程之和；

探索新知追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？

(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最 短的直线l上的点.设C 为直线上的一个动点，上 面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时， AC 与CB 的和最小(如图). B AC l

探索新知问题2 如图，点A,B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ B · 追问1 对于问题2,如何 A · 将点B“移”到l 的另一侧B′ l 处，满足直线l 上的任意一点 C,都保持CB 与CB′的长度 相等？

探索新知问题2 如图，点A,B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ B · A 追问2 你能利用轴对称的 · 有关知识，找到上问中符合条 l 件的点B′吗？

探索新知问题2 如图，点A,B 在直线l 的同侧，点C 是

直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ B 作法： · A (1)作点B 关于直线l 的对称 点B′; (2)连接AB′,与直线l 相交 于点C. 则点C 即为所求.·

C

l

B′

探索新知问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？

·

A

·

B

C

l

B′

探索新知问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？

证明：如图，在直线l 上任取一点C′(与点C 不 重合),连接AC′,BC′,B′C′. B 由轴对称的性质知， · A BC =B′C,BC′=B′C′. · ∴ AC +BC C′ l = AC +B′C = AB′, C AC′+BC′ = AC′+B′C′. B′

探索新知问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？

证明：在△AB′C′中， AB′<AC′+B′C′, ∴ AC +BC<AC′+BC′. 即 AC +BC 最短.

·

A

·

B

C′ C

l

B′