数学物理方程--- 2 分离变量法

第2章数 学 物 理 方 程

分离变量法第 二 章 分 离 变 量 法

本章中心内容用分离变量法求解各种有界问题；西安交通大学理学院

分离变量法是定解问题的一种基本解法，适用于大量 的各种各样的定解问题，其基本思想是把偏微分方程分解为几个常 第 微分方程，其中有的常微分方程带有附加条件而构成本特征值问题 二数 学 物 理 方 程

章 分 离 变 量 法

2.1 特征值问题2.1.1 矩阵的特征值问题矩阵的特征值问题 设A为一n阶实矩阵，其特征值满足

Ax x,

x R

n

(1)

一般来说，特征值和线性无关的特征向量不多于n个。任意n阶矩阵 都有n个线性无关的广义特征向量，以此n个线性无关的广义特征向西安交通大学理学院

量作为 R 的一个新基，矩阵就能够化为 约当标准型。 实对称矩阵对角化 若A为一n阶实对称矩阵，存在正交阵T使得数 学 物 理 方 程

n

T AT D (2) 其中 D diag{ 1 , 2 ,..., n } 为实对角阵。设 T [T1 T2 ...Tn ] 分则(2)可以有如下形式或

1

第 二 章 离 变 量 法

A[T1 T2 ...Tn ] [T1 T2 ...Tn ]D ATi iTi ,1 i n (3)

可以看出，正交阵T的每一列都是实对称阵A的特征向量，并且这n n个特征向量是 相互正交的。

定理1西安交通大学理学院

n阶实对称阵特征值全为实数且可以正交对角化。

特征值问题在线性问题求解中具有重要意义， 下面举例说明。 为简化问题，下面例子中，假设A为n阶非奇异阵，且有 n个线性无关的向量。数 学 物 理 方 程

Ax b. 解 A的n个线性无关的特征向量 {Ti }(1 i n) 可以作为 ¡ n n ' ' 的一个基。将x,b按此基展开为 x xiTi , b bTi ,则 i

例1

设

b Rn

,求解线性方程组

第 二 章n分

Ax b

i 1

i 1

离 变 量 法

等价于' xi' ATi bTi i i 1 n i 1 n n n

或

x T bTi 1 ' i i i i 1

' i i

西安交通大学理学院

由于 {Ti } 线性无关，比较系数有

x b数 学 物 理 方 程

则

x xTi 1

n

' i

1 ' i i第 二 章T n

' i i

为原问题的解。n

例2

设

x ¡ , x(t ) ( x1 (t ), x2 (t ),..., xn (t )) R , t 分 0. 离0

求解非齐次常微分方程组

其中

f (t ), x(0) x0 (4) dx ( x' , x' ,..., x' )T , t 0. 为已知向量函数， f (t ) 1 2 ndt

dx Ax dt

变 量 法

解 和例1相似 ，将 x0 , x, 开西安交通大学理学院

f (t ) 按基 {Ti (1 i n)} 分别展

x i 1数 学 物 理 方 程

n

0 xT , xi i

0 xi Ti , f (t ) fi (t )Ti0 i 1 i 1

n

n

则(4)等价于n dxi Ti ( i xi fi (t ))Ti , xi (0) xi0 ,1 i n dt i 1 i 1 n

化为n个一阶线性方程组的初始值问题，最后再带

回 x

Ti 1

分 离 变 n 量 xi i 法

(5)

第 二 章

2.1.2 一个二阶线性微分算子的特征值问题A 实对称矩阵A换为二阶微分算子A, C[0, l ]. 一般取 { X ( x) C [0, l ] | X (0) X (l ) 0}2西安交通大学理学院

(6)

下面讨论二阶线性微分算子

d A 2 dx 的特征值问题。边界条件 X (0) X (l ) 0 ,设 X ( x) 是A数 学 物 理 方 程

2

的特征函数，即 X ( x) 0 且满足

AX ( x) X ( x)

第 二 章 分 离 变 量 法

等价于

X ( x) X ( x) 0,0 x l X (0) X (l ) 0对此特征值问题求解。 首先证明 非负。 因为

(7)

X ( x) X ( x) X 2 ( x) 0西安交通大学理学院

积分得数 学 物 理 方 程

l

0

X ( x) X ( x)dx X ( x)dx 02 0

l

第一项分部积分， 得

第 二 章 分 离 变 量 法

( x) | ( X ( x)) dx X 2 ( x)dx 0 X ( x) Xl 0 2 0 0

l

l

故有

西安交通大学理学院

l

0

( X ( x)) dx2 l 0

X ( x)dx

2

(8)

X ( x) X ( x) 0 的通解为 X ( x) c1 c2 x ,利用边界条件可得 X ( x) 0 因此， 不是特征值。 0 当 0 时，方程 X ( x) X ( x) 0 的通解为当 时，方程数 学 物 理 方 程

0

X ( x) c1 cos x c2 sin x c1 0, c2 sin l 0

第 二 章 分 离 变 量 法

利用边界条件，确定常数

即有 所以

sin l 0

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l n , n 1 2 n n , n 1 l

所以，可得数 学 物 理 方 程

n X n c sin x, n 1 l

第 二 章 分 离 变 量 法

故，特征值问题(7)的解为

n n , n 1 l n X n c sin x, n 1 l2

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2.2 分离变量法对于一个给定的偏微分方程实施变量分离应该具备

什么条件？数 学 物 理 方 程

对于任何二阶线性(齐次)偏微分方程

A( , )u B( , )u C( , )u D( , )u E( , )u F ( , )u 0

第 二 章 分 离 变 量 法

通过适当的自变量变换转化为下列标准形式：

A1 ( x, y)uxx C1 ( x, y)uyy D1 ( x, y)ux E1 ( x, y)u y F1 ( x, y)u 0(*)假设：标准形式的解有下列分离的形式

u ( x, y) X ( x)Y ( y)其中 X ( x)Y ( y) 分别是单个变量的二次可微函数。西安交通大学理学院

代入标准形式即有

讨论:数 学 物 理 方 程

A1 ( x, y) X Y C1 ( x, y) XY D1 ( x, y ) X Y E1 ( x, y ) XY F1 ( x, y ) XY 0第 二 章 分 离 变 量 法

1. 常系数偏微分方程若(*)的系数均为常数，并分 …… 此处隐藏：1675字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……