第8节随机事件的独立性

时间：2025-07-07

第一章随机事件及其概率§1.8 随机事件的独立性

概率论与数理统计教程(第四版)

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§1.8 随机事件的独立性

1.随机事件独立性的概念[引例]袋中有5个球(3白2黑),从袋中依次取两球。设 A: 第一次取得白球; B: 第二次取得黑球. ① 对于无放回抽样： 3 2 P ( A) , P ( B ) , 5 5 2 1 3 3 P ( B A) , P( A B) . 5 1 2 5 1 4 ② 对于有放回抽样： 3 2 2 P ( A) , P ( B ) , P ( B A) . P( B) P( B A) 5 5 5概率论与数理统计教程(第四版)目录上一页下一页返回结束

§1.8 随机事件的独立性

两个事件独立的定义

如果事件 B 的发生不影响事件 A 概率,即 P( A B) P( A) 则称事件 A 对事件B 是独立的 ; 否则, 称为是不独立的.

P( B A) =P( B) P( A) P( B A) P( B) P( A B) P( A B) P( A)如果二事件中任一事件的发生不影响另一事件的概率, 则称它们是相互独立的 .

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§1.8 随机事件的独立性

[定理1]

如果二事件 A与B独立, 则下列各对事件 A与 B,A 与 B, A与 B

都是独立的. 证：由全概率公式可知 , P( A) P( B) P( A B) P( B) P( A B),

如果P( A B) P( A), 则 P( A) P( B) P( A) P( B) P( A B),即 P( A)[1 P( B)] P( B) P( A B),

由 1 P( B) P( B) 得 P( A) P( A B).概率论与数理统计教程(第四版)目录上一页下一页返回结束

§1.8 随机事件的独立性

有限个事件的独立

n 个事件 A1 , A2 , , An 称为是相互独立的，如果这些事件中的任一事件 Ai (i 1,2, , n) 与其它任意几个事件的交是独立的，即

P( Ai Aj Ak ) P( Ai ), m

其中 A j Ak 表示除事件 Ai 外的其它 n 1个事件中任意 m (m 1,2, , n 1) 个事件的交 .

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2. 独立情形的乘法定理[定理2] 二独立事件的交的概率等于这二事件的概

率的乘积：[定理3]

P( AB) P( A) P( B)

有限个独立事件的交的概率等于这些

事件的概率的乘积：

P( A1 A2 An ) PA1 ) P( A2 ) P( An )

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§1.8 随机事件的独立性

[例1] 排球比赛中规定“三局两胜”,若某队每局的获胜概率为0.6,求该队取胜的概率.解：设Ai {该队在第 i局中取胜}(i 1,2,3 ) , A 则 {该队最终获胜 }, A A1 A2 A1 A2 A3 A1 A2 A3 由于各局比赛是独立的，于是 P( A) P( A1 A2 ) P( A1 A2 A3 ) P( A1 A2 A3 )

P( A1 ) P( A2 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) 0.6 0.6 0.4

0.6 0.6 0.6 0.4 0.6 0.648.

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§1.8 随机事件的独立性

[例2 ] 加工一零件经过三道工序,设第一、二、三道工序的次品率分别为2%,3%,5%,假设各工序互不影响,求加工出来的零件的次品率.解：设 Ai {第 i 道工序出次品 } ( i 1, 2, 3), 则

P( A1 ) 0.02, P( A2 ) 0.03, P( A3 ) 0.05.

设 A {加工出来的零件是次品 } , 则 A A1 A2 A3 , 由加法定理，P( A) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) P( A1 A2 ) P( A2 A3 ) P( A1 A3 ) P( A1 A2 A3 )概率论与数理统计教程(第四版)目录上一页下一页返回结束

§1.8 随机事件的独立性

又 A1, A2 , A3 相互独立,于是 P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 ) 0.02 0.03 0.0006, P( A1 A3 ) P( A1 ) P( A3 ) 0.02 0.05 0.0010, P( A2 A3 ) P( A2 ) P( A3 ) 0.03 0.05 0.0015, P( A1 A2 A3 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) 0.02 0.03 0.05 0.00003, P( A) 0.09693 . 从而 =A1 A2 A3 , 另解 : A A1 A2 A3 P( A) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) 0.98 0.97 0.95 0.90307, P( A) 1 - P( A) 0.09693.目录上一页下一页返回结束

于是

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§1.8 随机事件的独立性

[例3] (系统可靠性)一个电子元件能正常工作的概率叫做这个元件的可靠性;由若干个电子元件构成的系统能正常工作的概率叫做这个系统的可靠性.系统的可靠性除了与构成系统的各个元件的可靠性有关外,还与各元件之间的联结方式有关. 设第 i 个元件 Di 的可靠性记为 pi (i 1,2, ), 且各个

元件相互独立工作 . 讨论以下三种系统的可靠性：(1)D1 D2

设 Di 表示第i 个元件 Di 能正常工作,则解：P( Di ) pi ,概率论与数理统计教程(第四版)

(i 1,2,3,4,5),目录上一页下一页返回结束

§1.8 随机事件的独立性

又设 Ai 表示第 i 个系统能正常工作 (i 1,2,3), 则 A1 D1D2 D3 D4 D5 , 于是 P( A1 ) P( D1 ) P( D2 ) P( D3 ) P( D4 ) P( D5 ) p1 p2 p3 p4 p5 .D3

(2)

A2 D1D ( ) , 2 D3 D4 D5

P( A2 ) P( D1 ) P( D2 )[1 P( D3 ) P( D4 ) P( D5 ) ]概率论与数理统计教程(第四版)目录上一页下一页返回结束