高等数学第三章课后习题答案
时间：2025-02-21
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第三章 中值定理与导数的应用
1. 验证拉格朗日中值定理对函数f(x) lnx在区间 1,e 上的正确性。
解：函数f(x) lnx在区间[1,e]上连续，在区间(1,e)内可导，故f(x)在[1,e]上满足
1x
拉格朗日中值定理的条件。又f (x) ，解方程f ( )
f(e) f(1)e 1
,即
1
1e 1
,
得 e 1 (1,e)。因此，拉格朗日中值定理对函数f(x) lnx在区间[1,e]上是正确的。
2．不求函数f(x) (x 1)(x 2)(x 3)(x 4)的导数，说明方程f'(x) 0有几个实根，并指出它们所在的区间。
解：函数f(x)分别在区间[1,2],[2,3],[3,4]上连续，在区间(1,2),(2,3),(3,4)上可导， 且f(1) f(2) f(3) f(4) 0。由罗尔定理知，至少存在 1 (1,2), 2 (2,3), 3 (3,4),使f ( i) 0 (i 1,2,3),即方程f'(x) 0有至少三个实根。又因方程
故它至多有三个实根。因此，方程f'(x) 0有且只有三个实根，f'(x) 0为三次方程，
分别位于区间(1,2),(2,3),(3,4)内。
nn 1
an 1x 0有一个正根x0, 证明: 3．若方程 a0x a1x
方程a0nx
n 1
a1(n 1)x
n
n 2
an 1 0必有一个小于x0的正根。
解：取函数f x a0x a1x
n 1
an 1x。f(x)在[0,x0]上连续，在(0,x0)内可导，
且f(0) f(x0) 0,由罗尔定理知至少存在一点 0,x0 使f'( ) 0,即方程
a0nx
n 1
a1(n 1)x
n 2
an 1 0必有一个小于x0的正根。
4．设 1 a b 1, 求证不等式： arcsina arcsinb a b.
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证明：取函数f(x) arcsinx,f(x)在[a,b]上连续，在（a, b）内可导，
由拉格朗日中值定理知，至少存在一点 (a,b),，使f(a) f(b) f'( )(a b)，
即arcsina arcsinb a b)，
故arcsina arcsinb
1
2
a b a b
5．设f(x)在[a,b](0 a b)上连续，在(a,b)内可导，证明存在 (a,b),使
f(b) f(a)b a
f( )3
2'
(a ab b)
22
.
证明：取函数g(x) x3，则g(x)在[a,b](0 a b)上连续，在(a,b)内可导，由柯
f(b) f(a)b a
3
3
西中值定理知，存在 (a,b)，使
f'( )
3
，
即
f(b) f(a)b a
(a ab b)
22
f'( )3
2
。
2
6．证明恒等式: arctanx arccotx .
11 x
2
证明：取函数f(x) arctanx arccotx，则f'(x) f(x) c(c为常数).因为f(1) arctan1 arccot1
11 x
2
0. 则
2
，故f(1) f(x)
'
2
。
7．证明：若函数f(x)在( , )内满足关系式f(x) f(x),且f(0) 1, 则
f(x) e.
x
证明：取F(x)
f(x)e
x
,因F (x)
xx
f (x)e f(x)e
e
2x
f (x) f(x)
e
x
0,故
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F(x) C，又F(0) 1,故F x 1,即
f x e
x
1,故f x ex
.
8．用洛必达法则求下列极限 （1） lim
x
m a
mx a
xn
a
n
m解：lim
x a
mxm 1mx a
xn
a
n
lim
mx a
nx
n 1
n
a
m n
a 0 .
x
x
（2） lim
a b
x
x 0
x
x
x解：lim
a balna bx
lnb
x 0
x
lim
x 0
1
lna lnb
（3）lim
lnsinxx
( 2x)
2
2
解： lim
lnsinxcotx2
lim
csc
x
x
( 2x)
2
lim
2
x
4( 2
2x)
x
8
12
8
4）lim
logaxx
(a 1,x
0)
1
解： lim
logaxx
x
xlim x 1 xlim1 lnax
0 （5）lim
ln(tan7x)
x 0
ln(tan2x)
1
1
2
解：lim
ln(tan7x)tan7x
sec2
7x 7
7xsec7x 7
x 0
ln(tan2x)
lim
x 0
1 lim
sec2
2x 2
x 0
1
2
tan2x
2x
sec2x 2
2
lim
2sec7x 7x 0
7sec2
2x 2
1
（
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（6）limxcot2x
x 0
解：limxcot2x lim
x 0
xtan2x
x 0
lim
12sec2x
2
x 0
lim
cos2x
2
2
x 0
12
（7）lim(
x 1
1lnx
1x 1
)
解：lim(
x 1
1lnx
1x 1
) lim
x 1 lnxlnx(x 1)
11 x
1x
1
lim
x 1
1x
x 1
1x
(x 1) lnx
lim
x 1(x 1) xlnx
x 1
lim
x 1
lnx
12
1
ln(e
（8）limx
x 0
x
1)
1
lnx
1
解：因为x
ln(e 1)
x
e
xln(e 1)
，而lim
lnxln(e
x
x 0
1)
lim
e
x
1
x
x 0
xe
lim
ee
x
x
x
x 0
xe
1.
1
所以limx
x 0
ln(e 1)
x
e
（9）lim()
x 0
1x
tanx
解：因为(
1x
)
tanx
e
tanxlnx
，而
1
sinxx
lim tanxlnx lim lim lim 0, x x cotxx csc2xx x
lnx
2
所以，lim(
x 0
1x
)
tanx
1.
9. 验证 lim
x sinx
x
x
存在，但是不能用洛必达法则求出。
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