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第三章 中值定理与导数的应用

1. 验证拉格朗日中值定理对函数f(x) lnx在区间 1,e 上的正确性。

解：函数f(x) lnx在区间[1,e]上连续，在区间(1,e)内可导，故f(x)在[1,e]上满足

1x

拉格朗日中值定理的条件。又f (x) ，解方程f ( )

f(e) f(1)e 1

,即

1

1e 1

,

得 e 1 (1,e)。因此，拉格朗日中值定理对函数f(x) lnx在区间[1,e]上是正确的。

2．不求函数f(x) (x 1)(x 2)(x 3)(x 4)的导数，说明方程f'(x) 0有几个实根，并指出它们所在的区间。

解：函数f(x)分别在区间[1,2],[2,3],[3,4]上连续，在区间(1,2),(2,3),(3,4)上可导， 且f(1) f(2) f(3) f(4) 0。由罗尔定理知，至少存在 1 (1,2), 2 (2,3), 3 (3,4),使f ( i) 0 (i 1,2,3),即方程f'(x) 0有至少三个实根。又因方程

故它至多有三个实根。因此，方程f'(x) 0有且只有三个实根，f'(x) 0为三次方程，

分别位于区间(1,2),(2,3),(3,4)内。

nn 1

an 1x 0有一个正根x0, 证明: 3．若方程 a0x a1x

方程a0nx

n 1

a1(n 1)x

n

n 2

an 1 0必有一个小于x0的正根。

解：取函数f x a0x a1x

n 1

an 1x。f(x)在[0,x0]上连续，在(0,x0)内可导，

且f(0) f(x0) 0,由罗尔定理知至少存在一点 0,x0 使f'( ) 0,即方程

a0nx

n 1

a1(n 1)x

n 2

an 1 0必有一个小于x0的正根。

4．设 1 a b 1, 求证不等式： arcsina arcsinb a b.

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证明：取函数f(x) arcsinx,f(x)在[a,b]上连续，在（a, b）内可导，

由拉格朗日中值定理知，至少存在一点 (a,b),，使f(a) f(b) f'( )(a b)，

即arcsina arcsinb a b)，

故arcsina arcsinb

1

2

a b a b

5．设f(x)在[a,b](0 a b)上连续，在(a,b)内可导，证明存在 (a,b),使

f(b) f(a)b a

f( )3

2'

(a ab b)

22

.

证明：取函数g(x) x3，则g(x)在[a,b](0 a b)上连续，在(a,b)内可导，由柯

f(b) f(a)b a

3

3

西中值定理知，存在 (a,b)，使

f'( )

3

，

即

f(b) f(a)b a

(a ab b)

22

f'( )3

2

。

2

6．证明恒等式: arctanx arccotx .

11 x

2

证明：取函数f(x) arctanx arccotx，则f'(x) f(x) c(c为常数).因为f(1) arctan1 arccot1

11 x

2

0. 则

2

，故f(1) f(x)

'

2

。

7．证明：若函数f(x)在( , )内满足关系式f(x) f(x),且f(0) 1, 则

f(x) e.

x

证明：取F(x)

f(x)e

x

,因F (x)

xx

f (x)e f(x)e

e

2x

f (x) f(x)

e

x

0,故

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F(x) C，又F(0) 1,故F x 1,即

f x e

x

1,故f x ex

.

8．用洛必达法则求下列极限 （1） lim

x

m a

mx a

xn

a

n

m解：lim

x a

mxm 1mx a

xn

a

n

lim

mx a

nx

n 1

n

a

m n

a 0 .

x

x

（2） lim

a b

x

x 0

x

x

x解：lim

a balna bx

lnb

x 0

x

lim

x 0

1

lna lnb

（3）lim

lnsinxx

( 2x)

2

2

解： lim

lnsinxcotx2

lim

csc

x

x

( 2x)

2

lim

2

x

4( 2

2x)

x

8

12

8

4）lim

logaxx

(a 1,x

0)

1

解： lim

logaxx

x

xlim x 1 xlim1 lnax

0 （5）lim

ln(tan7x)

x 0

ln(tan2x)

1

1

2

解：lim

ln(tan7x)tan7x

sec2

7x 7

7xsec7x 7

x 0

ln(tan2x)

lim

x 0

1 lim

sec2

2x 2

x 0

1

2

tan2x

2x

sec2x 2

2

lim

2sec7x 7x 0

7sec2

2x 2

1

（

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（6）limxcot2x

x 0

解：limxcot2x lim

x 0

xtan2x

x 0

lim

12sec2x

2

x 0

lim

cos2x

2

2

x 0

12

（7）lim(

x 1

1lnx

1x 1

)

解：lim(

x 1

1lnx

1x 1

) lim

x 1 lnxlnx(x 1)

11 x

1x

1

lim

x 1

1x

x 1

1x

(x 1) lnx

lim

x 1(x 1) xlnx

x 1

lim

x 1

lnx

12

1

ln(e

（8）limx

x 0

x

1)

1

lnx

1

解：因为x

ln(e 1)

x

e

xln(e 1)

，而lim

lnxln(e

x

x 0

1)

lim

e

x

1

x

x 0

xe

lim

ee

x

x

x

x 0

xe

1.

1

所以limx

x 0

ln(e 1)

x

e

（9）lim()

x 0

1x

tanx

解：因为(

1x

)

tanx

e

tanxlnx

，而

1

sinxx

lim tanxlnx lim lim lim 0, x x cotxx csc2xx x

lnx

2

所以，lim(

x 0

1x

)

tanx

1.

9. 验证 lim

x sinx

x

x

存在，但是不能用洛必达法则求出。

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解：由于lim

(x sinx)'

(x)'

x

lim

1 cosx

1

不存在，故不能使用洛必达法则来求此极限，

x

但不表示此极限不存在，此极限可如下求得：lim

x sinx

lim1

sinx 1 0 1。

x

x

x

x

10. 当x10 1时，求函数f(x)

x

的n阶泰勒公式。

解：因为f

n

x

( 1)n

n!n

x

n 1

,f

1

n!,

故

1f''' 1 x

f 1 f' 1 x 1

f'' 1 2!

x 1

2

3!

x 1

3

f

n

1

n 1

n!

x 1

n

f

n n 1 !

x 1 1

1 x 1 x 1 2 x 1 n

1 n 1 n 2

x 1 n 1

其中 介于x与 1之间.

11. 求函数f(x) xex

的n阶麦克劳林公式。 解：因为f

n

x (n

x)ex

,f

n

0

n,故

n 1

f

x

xex

f 0 f' 0 x

f'' 0 n

2!

x2

f

n 0

n!

x

f

n 1 !

x

n 1

3

x x2

x

e n 1

xn 1

2!

x

n

(n 1)!

1

n 1 !

. 其中 介于x与0之间。 12． 确定函数y

104x3

9x2

6x

的单调区间。

解：函数除x 0外处处可导，且

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y'

10(12x 18x 6)(4x 9x 6x)

3

2

2

2

120(x

3

12

)(x 1)

2

(4x 9x 6x)

.

令y' 0，得驻点x1

12

,x2 1.这两个驻点及点x 0把区间 , 分成四个部

1 1

分区间 ,0 , 0, , ,1 , 1, .

2 2

1 1

当x ,0 0, 1, 时，y' 0，因此函数在 ,0 ,(0,],[1, )内

2 2

单调减少。

1 1

当x ,1 时，y' 0，因此函数在[,1]内单调增加。

2 2

13．证明不等式：当x 0时，1 xln(x 1 x2) 证明：取函数f

t 1 tln(t f'

t ln(t

x.

2

t [0,x].

ln(t t (0,x).

因此，函数f t 在[0,x]上单调增加，故当x 0时，f t f 0 ，即

1 xln(x

1 0 1 0,

亦即，当x

0时，1 xln(x 14. 设f(x) alnx bx

2

x在x1 1,x2 2时都取得极值，试确定a,b的值，并判

断f(x)在x1,x2是取得极大值还是极小值？ 解：f' x a

1x

2bx 1 ，f

x 在x1

1,x2 2取得极值，则

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f' 1 a 2b 1 0，f'(2) a

12

4b 1 0，故a

23

,b

16

.

又因f'' x a

1x

2

故f'' 2b，2

111

a2b 463

23

13

13

1

6

0，所以f

x 在

x2 2时取得极大值；f'' 1 a 2b

0，所以f

x 在x1

1时取

得极小值。

15．求函数f(x) (x 1)3x2在闭区间 1,1 上的最大值与最小值。 解：函数除x 0外处处可导，f'

x

23

13

x(x 1) 令f

x ' 0，得驻点

x

2

.又因f 1 2，f 0

0，f

5 5

2

，f 1 0，

故，最小值为 2，最大值为0。

16．某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆。截面的面积为5m2.问底宽x为多少时，

才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省？ 解：设界面周长为l，已知l x 2y

x

2

及xy

x

5 x

y .

即 5,

x82 2

20x

3

2

故l x

x 4

10x

,x l' 1

4

10x

2

,l'' .

令l' 0，得驻

点x

由l''

x20

3

0知x

为极小值点。

40 2

4

又因为驻点唯一，故极小值点就是最小值点。所以，当截面的底宽为x 才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省。 17．求函数y ln(1 x)图形的拐点及凹或凸的区间。

2

时，

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解：y'

2x1 x

2

,y''

2(1 x) 2x 2x

(1 x)

2

2

2

2(x 1)(x 1)

(1 x)

2

2

.

令y'' 0，得x1 1,x2 1。

当x , 1 时，y'' 0，因此函数在( , 1]内是凸的； 当x 1,1 时，y'' 0，因此函数在[ 1,1]内是凹的； 当x 1, 时，y'' 0，因此函数在[1, )内是凸的。 曲线有两个拐点，分别为 1,ln2 , 1,ln2 .

x y

18．利用函数图形的凹凸性，证明: (xn yn) (x 0,y 0,x y,n 1).

2 2

1

n

证明：取函数f t t,t (0, ).则

n

f' t nt

n 1

,f'' t n(n 1)t

n 2

,t (0, ).

当n 1时，f t '' 0,t (0, )，故函数在(0, )上是凹的，故对任何

12

x y2

x 0,y 0,x y，恒有[f

x f y ] f(

),

即

12

(x y) (

nn

x y2

),

n

(x 0,y 0,x y,n 1).

32

19．试决定曲线y ax bx cx d中的a,b,c,d, 使x 2为驻点, 1, 10 为拐

点，且通过 2,44 .

yx 2 44 8a 4b 2c d 44

a b c d 10 yx 1 10

解：由题设知 ，即 .

x 2 0y12a 4b c 0 y x 1 0 6a 2b 0

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解得a 1,b 3,c 24,d 16.

2x 1(x 1)

2

20．描绘函数f(x) 的图形。

解：（1）定义域( ,1) (1, )；

2x(x 1)

3

（2）f (x) ,f (x)

2(1 2x)(x 1)

4

.

12

令f (x) 0得x 0;令f (x) 0得x ;

2x 1(x 1)

2

（4）lim

2x 1(x 1)

2

x 1

，lim

x

0.

x=1是垂直渐近线；y=0是水平渐近线.

(5)取辅助点 1,

3 1

, ,0 2,3 . 4 2

（6）作图：

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21．求椭圆4x2 y2 4在点 0,2 处的曲率及曲率半径。 解：4x2 y2 4两边对x求导得8x 2yy 0, 从而y

4xy

.

2

8x 2yy 0两边对再x求导得y

4 y y

.

把x 0,y 2代入y

4xy

得y (0) 0,

把x 0,y 2y (0) 0代入y 得y (0) 2. 因此椭圆在点 0,2 处的曲率为k

(0,2)

y(1 y 2

)

3/2

x 0 2,

y 0

曲率半径 1 1k

2

.

22．试问：抛物线y ax2

bx c上哪一点处的曲率最大？

解： y ax2

bx c, y 2ax b,

y 2a,

曲率K

2a

31 2ax b 2

2

显然2ax b 0时，即x

b

2a

时,K最大. 抛物线在顶点处的曲率最大.