4_解析函数的CR条件

复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform

解析函数的C-R条件 条件 解析函数的一、问题的解决思路 分析解析函数所具备的特征，再推证具备此特征的函数是否解析

f (z)在点z0解析 f (z0 )在z0点可导 w = f (z)在点z0可微 w = f (z0 + z) f (z0 ) = f ′(z0 ) z + ρ( z) z (ρ( z) →0)

复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform

令f ′(z0 ) = a + ib , z = x + i y , w = u + i v , ρ( z) = ρ1 + iρ2 , 则

u + i v = (a + ib)( x + i y) + (ρ1 + iρ2 )( x + i y) = a x b y + ρ1 x ρ2 y + i(b x + a y + ρ2 x + ρ1 y) u = a x b y + ρ1 x ρ2 y 复数相等条件 LLL@ v = b x + a y + ρ2 x + ρ1 y

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又

ρ1 x ρ2 y| z | ≤ | ρ1 |2

=

| ρ1 x ρ2 y | ( x)2 + ( y)22

| x | ( x) + ( y)

+ | ρ2 |

| y | ( x)2 + ( y)2

≤ | ρ1 | + | ρ2 |

当 z →0时,ρ( z) = ρ1 +iρ2 →0 等价于 x →0 , y →0时,ρ1 →0 , ρ2 →0 故 ρ1 x ρ2 y (同理ρ2 x + ρ1 y)是比| z | 更高阶的无穷小.

复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform

义知， 式等价于 (x, y) @ u 由二元实函数微分的定 和v(x, y)在点 x0 , y0 )处可微且在该点处有 (

u′ = v′ = a, x y

u′ = v′ = b y x

此 为 数 (z) = u + iv在 可 的 即 函 f 点 导 必 条 ( 是 解 的 要 件 要 件 也 点 析 必 条 )

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方程 称为 柯西 ——黎曼 黎曼( n)方程 方程( 方程) ——黎曼(Cauchy—Riemann)方程(简称C-R方程)

u v u v = , = x y y x

反之，我们自然要问是否满足以上条件的 反之， 函数必在点可导呢？ 事实上， 函数必在点可导呢？ 事实上，该条件也是充 分的，于是有--分的，于是有---

复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform

定理 函数f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y )在点z0可导 二元函数u ( x, y )和v( x, y )在z0 = x0 + iy0点处处可 微且满足C R方程。

u′ = v′ , x y且此时：

u′ = v′ y x

u v u u f ′(z0 ) = |( x0 , y0 ) +i |( x0 , y0 ) = |( x0 , y0 ) i |( x0 , y0 ) x x x y

复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform

证明：必要性前面已经证明，下证充分性.

由 (x, y)和 (x, y)在 0 = x0 + iy0可 可 u v z 微 知 u u u = x + y + ε1 x + ε2 y, x y v v v = x + y + ε3 x + ε4 y, x y lim εk = 0 (k =1,2,3,4) x→0 y→0

复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform

因 (z0 + z) f (z0 ) = u + i v 此 f =( u v u v + i ) x + ( + i ) y + (ε1 + iε3 ) x +

(ε2 + iε4 ) y x x y y

根 C R方 据 程 u v v v u 2 = =i , = y x x y x

所以

f (z0 + z) f (z0 )

u v = ( + i )( x + i y) + (ε1 + iε3 ) x + (ε2 + iε4 ) y x x f (z0 + z) f (z0 ) u v x y = + i + (ε1 + iε3 ) + (ε2 + iε4 ) z x x z z

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x y ≤1 , ≤1,故当 z趋于零时，上式右端的最后两项都趋于零。 z z f (z0 + z) f (z0 ) u v 于是 f ′(z0 ) = lim = +i z→0 z x x 即f (z)在z0点可导，此时：

f ′(z0 ) = u′ + iv′ = v′ iu′ = u′ iu′ = v′ + iv′ x x y y x y y x注： f (z)在D内任一点z可导 u, v在D内任一点可微且C-R方程成立 f (z)在D 内任一点z解析

复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform

二、举例---两种判别法(定义法，C— R条件判可导)例 3 试 证 明 函 数 f ( z ) = z R e( z )仅 在 点 z = 0可 导 ？ 并 求 f ′( 0 ) .

证

因为f (z) = (x + iy)x = x2 + xyi , 即

u(x, y) = x2 , v(x, y) = xy , u′ = 2x, u′ = 0, v′ = y, v′ = x. x y x y显 u, 处处可 然 v 微， C R方程仅 x = y = 0即z = 0处成 而 在 立,所 以 f (z) = z Re(z)仅 在点 = 0可 z 导， 且有 f ′(0) = u′ (0,0) + iv′ (0,0) = 0 x x 事 实上 ，该题 也可 用导 数的 定义求 证， 留给 读者练 习

复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform

例4 设 数 (z) = u(x, y) + iv(x, y) 函 f 在 域 内 处 析 f ′(z) ≠ 0.试 ： 区 D 处 解 且 证 曲 族 (x, y) = c 与 线 v(x, y) = c2 线 u 曲 族 1 正 ， 中 1和 2分 为 (x, y)和 (x, y) 交 其 c c 别 u v 在 内 点 的 数 。 D 某 处 函 值

复变函数与积分变换Complex Analysis and Integral Transform

证 由 在 内 ′(z) = u′ + iv′ = v′ iu′ ≠ 0,因 u′ 于 D f 此y x x y y vy D 任 点 同 和 ′ 在 内 一 不 时为 零如果u′ 和v′ 在点 x0 , y0 )处都不为零,则由隐函数 ( y y 的微分法知,曲线u(x, y) = c1 和v(x, y) = c2在该 点 处的切线斜率分别为 u′ v′ x k1 = ( x0 , y0 ) , k2 = x u′ v′ y y

( x0 , y0 )

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由 数 析 C R条 得 1 k2 = 1 函 解 的 件 k 。 因 ， 这 条 线 点 x0 , y0 )处 交 此 两 曲 在 ( 正 。

如果u′或v′ 有一个为零的情形另一个必不为零), ( y y 由C R条件u′ = v′且u′ = v′可知,其切线斜率 x y y x k1 和k2分别为零和无穷大,这说明上述两条曲线 在点 x0 , y0 )处也正交. (

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例 如 f (z) = z2 = x2 y2 + 2xyi z ≠ 0 f ′(z) = 2z ≠ 0, 所 曲 族 2 y2 = c1 ,2xy = c2 以 x 必 互 交 相 正

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果 区 D 解

, 例6】 明 5】 【例 . 证 ： 如 f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在 域 内 析 且 足 列 件 一 则 (z)是 数 满 下 …… 此处隐藏：2194字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……