高中数学选修2-2：1.1.2导数的概念(根据特级教师王新敞课件整理)

高中数学,导数概念,瞬时变化率

1.1.2 导数的概念

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一、明确目标

1.在上一节学习的平均变化率的基础上，了 解瞬时速度、瞬时变化率的概念；2.理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导 数，导数就是函数增量与自变量增量的比值 的极限.体会导数的思想及其内涵； 3.会求函数在某点的导数及简单应用.

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二、回顾引申 求平均变化率的基本步骤： 1.计算函数的增量：

Vy f ( x0 Vx) f ( x0 )2.求函数的平均变化率 ：

V y f ( x0 V x) f ( x0 ) Vx Vx

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二、回顾引申高台跳水中，运动员在不同的时刻速度是不同的 平均速度不一定能反映出运动员某一时刻的瞬时速度，

如何将求平均速度的方法，升华为求运动员的瞬时速度？

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三、探究发现在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高 度为h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s ) 存在函数关系h=-4.9t2+6.5t+10

求t=2时的瞬时速度？我们先考察t=2附近的情况。 任取一个时刻2+△t,△t 是时间改变量，可以是正值， 也可以是负值，但不为0. 当△t<0时，在2之前； 当△t>0时，在2之后。计算区间 2 t , 2 和区间 2, 2 t

h

o

2

t △t>0时 2+△t

△t<0时 2+△t

内平均速度v, 可以得到如下表格

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h(t ) 4.9t 2 6.5t 10△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时 间内 △t>0时, 在[2, 2 +△t ]这段 时间内

v 4.9 t 13.1

v 4.9 t 13.1当△t = 0.01时, v 13.149

当△t = – 0.01时, v 13.051 当△t = – 0.001时, v 13.0951

当△t =0.001时, v 13 .1049 当△t =0.0001时, v 13.10049△t = 0.00001, △t =0.000001, v

当△t = –0.0001时, v 13.09951△t = – 0.00001, △t = – 0.000001,

v 13.099951 v 13.0999951

v 13.100049 13.1000049……

……

当△t趋近0时，平均速度 v 有怎样的变化趋势？ 平均速度趋近于确定值-13.1

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四、拓展升华从物理角度来看，时间间隔△t无限变小时，平均 速度

v

就无限趋近于t=2时的瞬时速度.因此，运

动员在t=2时的瞬时速度是-13.1m/s

Vh h(2 Vt ) h(2) lim lim 13.1 Vt 0 Vt Vt 0 Vt表示“当t=2,△t趋近于0时，平均速度 v 趋近于

确定值-13.1”

Vh 读作： △t趋近于0时， 的极限为-13.1 Vt

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四、拓展升华1.运动员在某一时刻

t 0的瞬时速度表示为：

h(t0 Vt ) h(t0 ) Vh lim lim Vt 0 Vt Vt 0 Vt2.函数 f ( x) 在 x x0 处瞬时变化率怎样表示？

f ( x0 Vx) f ( x0 ) Vy lim lim V x 0 V x V x 0 Vx分子叫做函数的增量，分母叫做自变量的增量

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五、新授概念一般地，函数 y f ( x)在 x x0 处的瞬时变化率是：

f ( x0 Vx) f ( x0 ) Vy lim lim V x 0 V x V x 0 Vx称它为函数 y f ( x)在

x x0 处的导数' f 记做 ( x0 ) 或 y ''

f ( x0 Vx) f ( x0 ) f ( x0 ) lim V x 0 Vx

x x0

表示V x趋近于0时,以为 V x自变量的函数

f ( x0 Vx) f ( x0 ) 所趋向的确定的值 Vx

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六、概念深化一般地，函数 y f ( x)在x

x0 处的瞬时变化率是：

f ( x0 Vx) f ( x0 ) Vy lim lim V x 0 V x V x 0 Vx称它为函数 y f ( x)在 函数 y f ( x)在

x x0处的导数

x x0 处的导数释义：

Vy f ( x0 Vx) f (x0 ) 就是在该点的函数的改变量(函数增量) 与自变量的改变量(自变量增量)V x 比的极限.

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六、概念深化一般地，函数 y f ( x)在x

x0 处的瞬时变化率是：

f ( x0 Vx) f ( x0 ) Vy lim lim V x 0 V x V x 0 Vx称它为函数 y f ( x)在 思考：

x x0处的导数

f ( x0 Vx) f ( x0 ) ' lim 与 f ( x0 ) ? V x 0 Vx 1 ' f ( x0 Vx) f ( x0 ) lim 与 f ( x0 ) ? V x 0 3Vx 3

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七、求导数的规范步骤1.计算函数的增量：

Vy f ( x0 Vx) f ( x0 )2.求函数的平均变化率 ：

V y f ( x0 V x) f ( x0 ) Vx Vx3.求平均变化率的极限 ：

f ( x0 Vx) f ( x0 ) f ( x0 ) lim V x 0 Vx'

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八、示范例题

例1.已知f ( x) ( x 1)2 , 求f '(2).解： V QV y V y f (fx(2 V xx )) f f((2) x)

(2 Vx) 1 (2 1) 2 Vx (Vx)22 2

0

0

V y 2 Vx (Vx) 2 Vx Vx Vx Vy f '(2) lim lim (2 V x) 2 V x 0 V x V x 02

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九、学以致用 练习1:已知f ( x) x2 ,由定义求f '(4).解： QV y

f (4 Vx) f (4)2 2 2

(4 Vx) 4 8 Vx (Vx) 2 V y 8 Vx (Vx) 8 Vx Vx Vx Vy lim lim (8 V x ) 8 V x 0 V x V x 0 f '(4) 8'

f ( x0 Vx) f ( x0 ) f ( x0 ) lim V x 0 Vx

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十、应用实例例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度 0 (单位: C )为 f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算第2h和 第6h, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.

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