线性代数应用案例解析

线性代数应用案例解析哈工大 郑宝东

问题 线性代数有什么用？ 如何面向低年级学生讲解线性代数的应用？

线性代数的主要内容

线性代数的学科特点 线性代数的重要性

应用案例

线性代数的主要内容 行列式

矩阵 n 维向量 线性方程组 特征值、特征向量

实二次型

线性代数的学科特点 概念抽象 理论深刻 内容零散 计算繁杂 与几何密切相关 几何为代数提供直观的想象空间 代数为几何提供有力的研究工具

线性代数的重要性 三门最主要的工科数学课程之一 是硕士研究生入学考试的必考科目 是后继课程的基础 是科学与技术的语言 是培养科技创新能力的载体 是解决实际问题的有力工具

应用案例案例的选取重在可接受性，兼顾完整性

应用案例例1 行列式在几何中的应用

D

a11

a12

a = a11 , a12 b = a 21 , a 22 2

a21 a22

b a

S =| a || b | sin < a,b >

(a11a21 + a12a22 ) = | a || b | 1 (| a || b |)2 2 2 2 2 = (a11 + a12 )(a 2 + a ) (a a + a a ) 21 22 11 21 12 22

= a11a22 a12a21 = D

应用案例a11 a12 a13 D = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a11 a12 a13 a = a 21 , b = a 22 , c = a 23 a a a 31 32 33 cb a

V [abc] D 行列式性质的几何意义 换法变换 a b a b ka 倍法变换 c b ka 消法变换 b

ca

应用案例例2.方程组在GPS定位中的应用 GPS系统：由24颗高轨道同步卫星组成，保证地球上任何一点 都可随时接收到其中三颗卫星信号 设某人位于点M ( x, y, z), 三颗卫星位于A(a1, b1 ), B(a2 , b2 ), C(a3 , b3 )

r1, r2 , r3分别为点M 到点A, B, C的距离 ( x ai )2 ( y bi )2 ( z ci )2 ri2 , i 1, 2,3 - - - - ( - ) (2a2 2a1 ) x (2b2 2b1 ) y A (2c2 2c1 ) z (2a3 2a1 ) x (2b3 2b1 ) y B (2c3 2c1 ) z

解出用z表示的x, y, 代入( )中某一个方程，

解得x, y, z的两组解.

舍去一个不合理的解，得到点M的位置(x, y, z)

应用案例例3 可逆矩阵在加密算法中的应用模型a b c d e f g h i j k l m 13 0 n 14 20 5 o …… x y 25 5 z 26 18 空格 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 明文：He is a teacher 密文：8 5 0 9 19 0 1 问题：如何消除频率特征？ 15 …… 24 1 3 8

8 19 Α= 20 8

5 0 0 1 5 1 5 18

9 2 5 7 9 0 19 1 0 0 , 密钥S = , 密文B = ΑS, 解密Α BS 1 0 7 20 5 3 如何消除数据扩张？ 0 3 0 0 8

b1 , b2 ,

, bn

应用案例例4. 线性方程组在(k,n)门限方案中的应用模型将密钥D分拆成n个子密钥，分别交给n个

人秘密保管，使得这n个人中任 意k-1人协作都可恢复出密钥D,而任意k-1个人协作都无法恢复出密钥D 构做(或自动生成)一个多项式 设 D 是(密钥)秘密数据。

f ( x) ak -1xk -1 ak -2 xk -2

a1x a0 ,

a0 D

任意取定 n 个不同的数 b1, b2 , , bn 子密钥 ： b1, f (b1) , b2 , f (b2 ) , , bn , f (bn ) 任意k个人协作，得方程组:

ak-1bi k-1 + ak-2bi k-2 +解得D

+ a1bi + a0 = f(bi )

应用案例例5. 线性组合在求一类数列通项公式中的应用 给定数a1,a2 定义数列 an = 7an-1+9an-2, 求an的通项公式2 3 n 1,q,q ,q , ,q , 考察等比数列 是这种数列吗？ q1,2 = 7 85 / 2 q2 = 7q + 9

2 3 1,q1 ,q1 ,q1 ,

n 2 3 ,q1 , ; 1,q2 ,q2 ,q2 ,

,qn 2,n an = xp1 + ypn 2

若

a1 , a2 = x 1 ,

p1 + y 1 , p1 则

an+1 7 另法： = an 1

9 a1 0 a0

n

应用案例例6 求 x2 + x +1 + 2x2 + x + 5 = x2 3x +13 的实数解

解：记 u = x 2 + x + 1, v = 2x 2 + x + 5, w = x 2 3x + 13

由x2 + x +1, 2x2 + x + 5, x2 3x +13 对应的向量共面,解得

7u + 4v = w 将u + v = w代入上式，得 (v 2u)(3v + 4u) = 0,2 2 2

由3v + 4u > 0,知v = 2u, 解得

3 17 x 4

应用案例例7. 二次型在多元函数极值问题中的应用设f(x, y)在(x0 , y0 )的一个邻域内无穷次可微。 f xx Δx 1 ,f y )( x0 ,y 0 ) + Δx, Δy f(x, y) - f(x 0 , y 0 ) = (f x Δy 2! f yx fxy fxx ,fy )( x0 ,y0 ) = 0, (fx 0时 f f yx yy f xx 1 f(x, y) - f(x0 , y 0 ) Δx, Δy 2! f yx f xy fyy Δx , Δy ( x0 , y 0 ) fxy f yy Δx + Δy ( x0 , y 0 )

A B f xx = f B C yx

fxy fyy

正(负)定时，f(x, y)在(x 0 , y 0 )取极小(大)值( x0 , y 0 )

应用案例例8.相似对角化在微分方程中的应用 (t ) x1 (t ) x2 (t ), x1 求函数x1 (t ), x2 (t )使得 (t ) 2 x1 (t ) 4 x2 (t ). x2

X AX ,

x1 (t ) 1 1 其中 X ,A x ( t ) 2 4 2 1

2 0 1 1 相似对角化得：T AT , 其中T , 0 3 1 2 (t ) 2 y1 (t ), y1 2 0 y1 (t ) 1 取Y T X Y Y . 即 y (t ) 3 y (t ). 0 3 2 2 y2 (t )

解得：x1 (t ) c1e2t c2e3t , x2 (t ) c1e2t 2c2e3t .