概率论与数理统计(经管类)第七章课后习题答案

概率论与数理统计(经管类) 课程代码4183武汉大学出版社 2006年版柳金甫 王义东 主编

习题7.1 

1. 设总体X服从指数分布 

λe,x 0,λ 0;

f x;λ  

0, x 0.

试求λ的极大似然估计.若某电子元件的使用寿命服从该指数分布,现随机抽取18个电子元件,测得寿命数据如下(单位:小时): 16, 19, 50, 68, 100, 130, 140, 270, 280, 340, 

410, 

450, 

520, 

620, 

190, 

210, 

800, 

1100. 

求λ的估计值. 解: 

似然函数为L λ λe λ e ∑  

lnL λ nlnλ λ x  

令 

d lnL λ n

x 0 λ

得  λ

111

16 19 , ,1100 n

2. 设总体X的概率密度为 

θx ,0 1;

      θ 0 f x

0, 其他.

; 2 θ的极大似然估计θ . 试求(1) θ的矩估计θ解: 

(1)  E X

xf x dx x·θx

dx θx dx

θθ

E X  

θ的矩估计θ(2) 

似然函数为L θ θx θ x ,x , x  

 lnL θ nlnθ θ 1 lnx lnx , lnx nlnθ θ 1 lnx  

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令 

d lnL θ n

x 0 θ

解得  θ

n

.(可参考例7‐8)  和极大似然估计λ3. 设总体X服从参数为λ λ 0 的泊松分布,试求λ的矩估计λ解: 由X服从参数为λ的泊松分布 E X λ 由矩法,应有 λ  λλ∑x λ

e  似然函数为L λ e

lnL λ x lnλ nλ ln x !x ! x !  d lnL λ ∑x

n 0 解得λ的极大似然估计为  λ 习题7.2 

1. 证明样本均值µ的相合估计. 证: 

σ

E µ,D 0 n ∞  

由定理7 1知是µ的相合估计. 

2. 证明样本的k阶矩A ∑ x 是总体k阶矩E x 的相合估计量. 

1

x  

证: 

111

0 n 0   E A E x E x , D A D x D x

A

1

x 是E x 的相合估计. 

3. 设总体X~N µ,1 , ∞ ∞, x ,x ,x 为其样品.试证下述三个估计量: (1) µ x

x x ; 

(2) µ x x

x; 

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(3) µ x x x  

都是µ的无偏估计,并求出每一估计量的方差,问哪个方差最小? 证: 

111331

E µ E x E x E x µ µ µ µ 

115151

E µ E x E x E x µ µ µ µ 

111111

E µ E x E x E x µ µ µ µ 

,µ 都是µ的无偏估计.  µ ,µD µ

11199119D x D x D x 1252512511

Dµ D x Dx Dx  

1111117

D µ D x D x D x  

故µ 的方差最小. 

4. 设总体X~u θ,2θ ,其中θ 0是未知参数,又x ,x , x 为取自该总体的样品,为样品均值.  是参数θ的无偏估计和相合估计; (1) 证明θ

(2) 求θ的极大似然估计. (1) 证: 

2223

E E θ θ  E θ

2

θ 是参数θ的无偏估计 

又 

θ 424θ

D D D θ 0 n ∞  

2

是参数θ的相合估计.  θ

(2) X~u θ,2θ 故其分布密度为 

1

, 0 x 2θ θ 0

f x  

0, 其他

似然函数

1

, 0 x 2θ i 1,2, n

L θ  

0, 其他 因对所有x 有0 x 2θ i 1,2, n  

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0 max x ,x , x 2θ 

习题7.3 

1. 土木结构实验室对一批建筑材料进行抗断强度试验.已知这批材料的抗断强度X~N µ,0.2 .现从中抽取容量为6的样本测得样本观测值并算的 8.54,求µ的置信度0.9的置信区间. 解:α 1 0.9 0.1,u . 1.64 置信度为0.9的置信区间是 

σσ

u , u  

√√ 8.54 1.64

0.2√,8.54 1.64

0.2√ 

8.41,8.67  

2. 设轮胎的寿命X服从正态分布,为估计某种轮胎的平均寿命,随机地抽取12只轮胎试用,测得它们的寿命(单位:万千米)如下: …… 此处隐藏：3526字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……