概率论与数理统计(经管类)第七章课后习题答案
时间:2025-07-12
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概率论与数理统计(经管类) 课程代码4183武汉大学出版社 2006年版柳金甫 王义东 主编
习题7.1
1. 设总体X服从指数分布
λe,x 0,λ 0;
f x;λ
0, x 0.
试求λ的极大似然估计.若某电子元件的使用寿命服从该指数分布,现随机抽取18个电子元件,测得寿命数据如下(单位:小时): 16, 19, 50, 68, 100, 130, 140, 270, 280, 340,
410,
450,
520,
620,
190,
210,
800,
1100.
求λ的估计值. 解:
似然函数为L λ λe λ e ∑
lnL λ nlnλ λ x
令
d lnL λ n
x 0 λ
得 λ
111
16 19 , ,1100 n
2. 设总体X的概率密度为
θx ,0 1;
θ 0 f x
0, 其他.
; 2 θ的极大似然估计θ . 试求(1) θ的矩估计θ解:
(1) E X
xf x dx x·θx
dx θx dx
θθ
E X
θ的矩估计θ(2)
似然函数为L θ θx θ x ,x , x
lnL θ nlnθ θ 1 lnx lnx , lnx nlnθ θ 1 lnx
概率论与数理统计(经管类) 课程代码4183武汉大学出版社 2006年版柳金甫 王义东 主编
令
d lnL θ n
x 0 θ
解得 θ
n
.(可参考例7‐8) 和极大似然估计λ3. 设总体X服从参数为λ λ 0 的泊松分布,试求λ的矩估计λ解: 由X服从参数为λ的泊松分布 E X λ 由矩法,应有 λ λλ∑x λ
e 似然函数为L λ e
lnL λ x lnλ nλ ln x !x ! x ! d lnL λ ∑x
n 0 解得λ的极大似然估计为 λ 习题7.2
1. 证明样本均值µ的相合估计. 证:
σ
E µ,D 0 n ∞
由定理7 1知是µ的相合估计.
2. 证明样本的k阶矩A ∑ x 是总体k阶矩E x 的相合估计量.
1
x
证:
111
0 n 0 E A E x E x , D A D x D x
A
1
x 是E x 的相合估计.
3. 设总体X~N µ,1 , ∞ ∞, x ,x ,x 为其样品.试证下述三个估计量: (1) µ x
x x ;
(2) µ x x
x;
概率论与数理统计(经管类) 课程代码4183武汉大学出版社 2006年版柳金甫 王义东 主编
(3) µ x x x
都是µ的无偏估计,并求出每一估计量的方差,问哪个方差最小? 证:
111331
E µ E x E x E x µ µ µ µ
115151
E µ E x E x E x µ µ µ µ
111111
E µ E x E x E x µ µ µ µ
,µ 都是µ的无偏估计. µ ,µD µ
11199119D x D x D x 1252512511
Dµ D x Dx Dx
1111117
D µ D x D x D x
故µ 的方差最小.
4. 设总体X~u θ,2θ ,其中θ 0是未知参数,又x ,x , x 为取自该总体的样品,为样品均值. 是参数θ的无偏估计和相合估计; (1) 证明θ
(2) 求θ的极大似然估计. (1) 证:
2223
E E θ θ E θ
2
θ 是参数θ的无偏估计
又
θ 424θ
D D D θ 0 n ∞
2
是参数θ的相合估计. θ
(2) X~u θ,2θ 故其分布密度为
1
, 0 x 2θ θ 0
f x
0, 其他
似然函数
1
, 0 x 2θ i 1,2, n
L θ
0, 其他 因对所有x 有0 x 2θ i 1,2, n
概率论与数理统计(经管类) 课程代码4183武汉大学出版社 2006年版柳金甫 王义东 主编
0 max x ,x , x 2θ
习题7.3
1. 土木结构实验室对一批建筑材料进行抗断强度试验.已知这批材料的抗断强度X~N µ,0.2 .现从中抽取容量为6的样本测得样本观测值并算的 8.54,求µ的置信度0.9的置信区间. 解:α 1 0.9 0.1,u . 1.64 置信度为0.9的置信区间是
σσ
u , u
√√ 8.54 1.64
0.2√,8.54 1.64
0.2√
8.41,8.67
2. 设轮胎的寿命X服从正态分布,为估计某种轮胎的平均寿命,随机地抽取12只轮胎试用,测得它们的寿命(单位:万千米)如下: …… 此处隐藏:3526字,全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……