2009-2010学年秋季学期线性代数（B）课程考试试题(A卷) (解答)（2010.1）

一．填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）请将合适的答案填在每题的空中

1．已知A为3阶方阵，且A= 2，则 2A=（16）； 101

，则的秩

2．已知矩阵A= ； AR(A)=（2）021

000

； 3．设A为n阶方阵，满足A2 A=E，则A 1=（(A E)）

4．设ξ1,ξ2是n元非齐次线性方程组Ax=b的两个解，且A的秩R(A) Ax=b的通解（

n 1，则

x=

k(ξ1 ξ2)+ξ1, k∈R）

*

5. 设A是n阶矩阵，A≠0，A是A的伴随矩阵．若A有特征值λ，则2A（

(

*

)

1

必有一个特征值是

λ

2A

）．

二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）

=

1.3阶方阵A=(aij)3×3，A的行列式A= 3，Aij是A中元素aij的代数余子式，则

(a11A11+a12A12+a13A13)2+(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a11A31+a12A32+a13A33)2=【 (C) 】;

(A) -3; (B) 2; (C) 9; (D) 0. 2. 已知线性方程组

0, x+y=

5, 2x+3y=

2x+y=a.

有解，则a=( (B) ) (A) 2; (B) 1; (C) 3;(D) 0.

3．设A是4阶矩阵，且A的行列式A=0，则A中【 (C) 】． (A) 必有一列元素全为0； (B) 必有两列元素成比例；

(C) 必有一列向量是其余列向量的线性组合； (D) 任意列向量是其余列向量的线性组合．

122 1

54. 设A= 212 相似于对角阵

,则λ=( (A) );

221 λ

(A) 1; (B) 2; (C)3; (D) 0.

222

5. 若二次型f(x1,x2,x3)2x1+x2+x3+2x1x2+ax2x3是正定二次型，则a的取值范围是

( (D) )

(A) 2<a

<

<a<2; (C) 2<a<2 ; (D) 2<a<2 .

三．（本题满分14分）

10 1

112

1. 4阶行列式D=

2101 1120 1112

解: D0=

1102 11

21

，求2A11+A21+A31+2A41． 21

21

(2分) 21

22

31

0 10

2= 938(5分) 3515

98

= 5.(7分) 55

20 1r2+r4303r3+r4301

2 11=( 1) ( 1)4+23

3

2 12

31

= ( 1)×( 1)1+2

ba1

2. Dn+1=

a1a1

r1 r2r2 r3

Dn+1

rn rn+1

a1b a2a2

a2 an 1a2 an 1 a3 ba3 an

00 0a3

11 1100 b an an

b a1a1 b0b a2 0a1

0a2

00

(5分) 01

=(b a1)(b a2) (b an)(7分)

四 (14分)设n阶矩阵A和B满足条件：A+B=AB． ⑴ 证明：A E是可逆矩阵，其中E是n阶单位．

1 30

⑵ 已知矩阵B=210，求矩阵A．

002

解：

⑴ 由等式A+B=AB，得A+B AB+E=E，(2分) 即(A E)(B E)=E(5分)

因此矩阵A E可逆，而且(A E)=B E(7分)．

1

⑵ 由⑴知，A E=(B E)，即A=(B E)+E(2分)

1

1

A=(B E)+E

1

0 1

0 30 100 1 = 200 + 010 =

3 001 001

0

1 1

=

3 0

1210

0

0 (7分). 2

1200

0

100 0+ 010 (5分) 1 001

五(14分) 当a、b为何值时，线性方程组

x3+x4=0 x1+x2+

2x3+2x4=1x2+

()= + 3 2bxaxx234

x3+ax4= 1 3x1+2x2+

有唯一解，无解，有无穷多组解，并求出有无穷多组解时的通解． 解：

将方程组的增广矩阵B用初等行变换化为阶梯矩阵：

110 11

01 221 B=

0 1a 3 2b

321a 1

1 0r 0 0

1110 1221 （5分） 0a 10b+1

00a 10

R(A)

（7分） 4，此时线性方程组有唯一解．

所以，⑴ 当a≠1时，R(B)

⑵ 当a=1，b≠ 1时，R(A)=2，R(B)=3，此时线性方程组无解．（9分） ⑶ 当a=1，b= 1时，R(B) 此时，原线性方程组化为

R(A)

2，此时线性方程组有无穷多组解．

因此，原线性方程组的通解为

=

==

0 x1+x2+x3+x4=

（11分）

x+2x+2x=1234 =

x1=x3+x4 1 x= 2x 2x+1 234

xx=3 3 x4 x4=

或者写为

x1 1 1 1

x 2 2 1 2 =k +k + (k,k∈R)（14分） x3 1 1 2 0 0 12

0 1 0 x3

六(10分) 设η0是非齐次线性方程组Ax=b的一个解,ξ1,ξ2,ξ3是对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解 系,证明:

(1) η0,ξ1,ξ2,ξ3线性无关;

(2) η0,ξ1+η0,ξ2+η0,ξ3+η0线性无关; 证: (1)令 kη0+k1ξ1+k2ξ2+k3ξ3=0,

用A左乘上式两端得, kAη0+k1Aξ1+k2Aξ2+k3Aξ3=0.(2分) 则有kAη0=0,由Aη0

b≠0知,k=0.。

于是有k1ξ1+k2ξ2+k3ξ3=0, 由ξ1,ξ2,ξ3线性无关知, k1

k2k3

0.

因此η0,ξ1,ξ2,ξ3线性无关.(5分)

(2) 令kη0+k1(ξ1+η0)+k2(ξ2+η0),+k3(ξ3+η0)=0, 整理得(k+k1+k2+k3)η0+k1ξ1+k2ξ2+k3ξ3=0(2分) 由(1)知η0,ξ1,ξ2,ξ3线性无关,于是得

====(k+k0,k11+k2+k3)

则有k

0,k2

=

0,k3

=

0,

k1k2

=

k3

=

0,

因此η0,ξ1+η0,ξ2+η0,ξ3+η0线性无关(5分).

七．（本题满分12分）二次型f=x1+x2+x3+2x1x2经正交变换后可变为标准形y2+2y3，求出该正交变换．

2

2

2

22

==

==

解：f的矩阵及标准形的矩阵分别为

000 110

A= 110 ， Λ= 010 ．(2分)

002 001

矩阵A的三个特征值分别为λ1=0,λ2=1,λ3=2．(5分)

T

1 1

特征值λ1=0对应的特征向量为α1= , ,0 ,

2 2

特征值λ2=1对应的特征向量为α2=(0,

0,1),

T

1

特征值λ3=2对应的特征向量为α3= ,

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