期权 期权 期权

《金融工程》第十章 B-S期权定价模型 主讲人：刘玉灿南京理工大学经济管理学院

期权 期权 期权

第十章 期权定价 第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 股价行为模型 Black—Scholes期权定价方法 期权价值的灵敏度分析 期权的平价定理及其性质 隐含波动率

期权 期权 期权

第一节 股价行为模型 一、标准布朗运动

z的增量由一个标准正态分布随机变量和时间长 度的平方根的乘积构成，即经过时间 t,z增 加 z t 其中，ε ~N(0,1)。则

E[ z ] t E[ ] 0,Var[ z ] tVar[ ] t

也称为维纳过程。

期权 期权 期权

二、证券价格变化过程 股票价格遵循几何布朗运动：dS dt dz S

其中S表示证券价格，μ表示证券在单位时间 内以连续复利计算的期望收益率(又称预期 收益率), 表示证券收益率单位时间的标 准差，即证券价格的波动率，dz遵循标准布 朗运动。

期权 期权 期权

三、股票价格的对数正态性质 假设股票的价格为 S 在较短的时间间隔 t, 股票的回报服从正态 分布: S ~ ( t , t ) S

这里 μ是年期望收益率， 为收益率的年标 准差。

期权 期权 期权

1、对数正态性质 股票价格服从下列分布： 2 T , T ln ST ln S 0 ~ 2 或 2 T , T ln ST ~ ln S 0 2

因为 ST的对数是正态的，所以 ST 服从对数 正态分布。

期权 期权 期权

对数正态分布图

E ( ST ) S0 e T var ( ST ) S0 e2 2 T

(e

2T

1)

期权 期权 期权

2、连续复利回报 x的分布ST S 0 e 或 ST 1 x= ln T S0 或 2 x , 2 xT

T

期权 期权 期权

期望回报 股票价格的期望价值为S0e μ T 股票的期望回报是μ – 2/2,而不是μ 这是因为ln[ E (ST / S0 )] 和 E[ln( ST / S0 )]

是不一样的：

E ln( ST / S0 ) 2 / 2)T ( ln E ( ST / S0 ) T

期权 期权 期权

μ和μ- 2/2 假设有一个数月的日数据序列 μ是以日计回报的算数均值。 μ- 2/2是这一时间区间的期望回报。

期权 期权 期权

3、波动率 波动率是一年连续复利回报的标准差。 在时间 t 的回报标准方差为 t 。

如果股票价格是10元，它的波动率为25%/年， 那么它的日价格变化的方差为多少？

期权 期权 期权

四、从历史数据估计方差1. 2. 3. 4. 观察数：n+1 股票价格序列： S0, S1, . . . , Sn 以(多)年计时间间隔的长度： 计算每一间隔i的连续复利回报 Si ui ln 2, S ,i 1, , n i 1

3. 计算ui 的标准差 s; 4. 历史波动率 估计为： s

期权 期权 期权

波动率的特点 估计的标准误差约为： s * / 2n 日数据：90-180天收盘价计算。如果给2年

期期权定价，需要两年的日数据。 市场开市比市场闭市时的波动率通常比较大； 由于这个原因，当给期权定价时，时间通常 以“交易日”度量，而不是以日历日度量。

期权 期权 期权

第二节 Black—Scholes期权定价方法收益

max( ST X , 0)

收益

min( X ST , 0)

X(1)看涨期权多头 收益

ST

X(2)看涨期权空头 收益

ST

max( X ST , 0)

min( ST X , 0)

X(3)看跌期权多头

ST

X(4)看跌期权空头

ST

期权 期权 期权

一、 Black-Scholes模型假设 Black & Scholes(1973)和Merton(1976) 基于不支付红利股票的任何期权的价格满 足的微分方程，推导B-S模型时候的假设条 件如下：

期权 期权 期权

1、Black-Scholes模型假设 ① 股票价格遵循几何布朗运动 ，且股价期望μ和 股价波动率 为常数； ② 没有交易费用或税收，所有证券都是高度可分 的； ③ 不存在无风险套利机会； ④ 证券交易是连续的； ⑤ 在期权的有效期内无红利支付； ⑥ 投资者能够以同样的无风险利率借款或贷款； ⑦ 无风险利率r为常数且对所有到期日都是相同 的。

期权 期权 期权

股票和期权Su fuS fS f

S u2 f uuS u fuS ud f ud

S d

Sd fd

fd

S d2 f dd

期权 期权 期权

ITO引理 考虑两个变量x、y的连续可微函数： x是x的小变 化， y是y的小变化， G是G的小变化: G G G x y x y

G的泰勒展开式： G G 1 2G 2 2G 1 2G 2 G x y x x y y 2 2 x y 2 x x y 2 y

单变量时:dG 1 d 2 G 2 1 d 3G 3 G x x x 2 3 dx 2 dx ! 3 dy !

期权 期权 期权

二、Black-Scholes微分方程的推导股票价格变化过程： S S t S z 看涨期权价格f是股价S和时间t函数： 1 2 2 2 S S t S z 2 S t 2 S S 构造一个组合： 1 : 衍生品

+ : 股票 S

期权 期权 期权

Black-Scholes微分方程的推导(续)组合的价值 由下式给出：

S S在 t时间内，其价值变化由下式给出 :

S S把 f和 S代入上式，可得 1 2 2 2 t 2 S 2 S t

期权 期权 期权

Black-Scholes微分方程的推导(续)组合的回报必须是无风险利率。因此 r t 把 和 代入上式, 可导出 Black - Scholes 微分方程 :

1 2 2 rS S r 2 t S 2 S2