0未定式极限的一些结果

泰勒公式

2 1年 6月 00

第 1拳第6 6靼

JU N LO A G UT A H R NV R IYO E H O O Y O R A FJ N S E C E SU IE T FT C N L G I S

江苏技术师范学院学报

Vo .6. . 11 No6

J n, 2 1 u. 00

关于多元函数型未定式极限的一些结果

刘建忠许新忠，(. 1江苏技术师范学院数理学院，江苏常州 2 3 0;2宁夏大学数学与计算机学院， 10 1 .宁夏银川 7 0 2 ) 5 0 1

摘要利多函的分式二泰公，到多函罟未式限在一必条和 :用元数微公和阶勒式得了元数型定极存的些要件充分条件。 关键词：多元函数；限；泰勒公式极中图分类号： 2 1 O 1. 4文献标识码： A文章编号： 6 4 82 (0 0 0 - 0 1 0 1 7— 5 2 2 1 )6 0 0— 4

1引言及引理 对于一元函数未定式的极限，有周知的洛必达法则。苏灿荣、季维莲，胡龙桥，以及万俊、庆平在其王

分别发展的文章中通过多元函数的中值公式将该法则推广到多元函数情形。.【这些推广尽管从形式上与 1,一

元函数的洛必达法则相一致，但往往把一个未定式的极限转化为另一个未定式的极限，应用起来并不

方便.本文利用多元函数的微分公式和二阶泰勒公式，得到了多元函数型未定式极限存在的一些容易 U操作的必要条件和充分条件。

以下记 ( X…,), -￣,…, ),= 2‰ X (, 多元函数 , 0 :

…,) )%记为， i x=mg假定l m )l i

x

)0‰为 x )的定义域的聚点。:,考虑极限l i m

,记

,

H () I=

)]…

。

f _l i m

)表示 ) z向的方向极限， ll ( ) l f x+,任一向量 eR,,分别表示与 O正沿方即 -i f x=i ( )对 m m。 Z.__ .

o

卜吣—

交的任意非零向量和的转置。如未加说明，向量均指列向量。 引理 1若。 为任一 n维非零向量，则必存在线性无关的 n维向量组 z z…,, z使得z,,i,, ≠0 ( =I 2…, ),,凡。

证明 1取 2 3…, ,,%使得 1 2 3…,为 R的一组基， O ,,, 由 Z≠O知可取充分小的

>使得( 0l帕 ) l (=,,,)取 l o,=t占 f=,,,)则易见 z z…,线性无关且z l, >0 i2 3… n,￣ t l o+ ( 23… n,=li l l2 ,, ≠0 (12…,。,, )

收稿日期： 00 0— 3 2 1— 3 2作者简介：刘建忠( 9 1 )男， 16一，陕西榆林人，教授，主要研究方向为矩阵论及不等式理论。

泰勒公式

三

莶垫

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引理 2设 )g ),(均在处可微，且满足。 _ (。=, ( ), )g ) 0 ≠0则存在线性无关的凡维向量

组 2z…,, -: z使得当沿此 n方向与充分接近 (等于 ),, 个不时。

有定义。

证明2由微分公式：() g:

x),。 r其中r、u为 0=/r u, 时的无穷小量。由于D (。≠, )o

由理1引，存在n性个线无关的向 l, I 2 ) 0注量fz…,使得：。≠,意到当 , z n (沿趋于X u, 0r o= =时， ,、z可见为￡时比t/ o高阶的无穷小量，由此可见当沿li,,几与%充分接近( i= 2…,) (1不等于。

) )((+), ￣2时=Dx。≠从碧 f。, ts)z0而 g l o( .,

r

,

r

引理3若，任 向且在性关 n向组f2…I使华：::卢二维量存线无的维量，,得为， 1 n,竽…l8 l 2,

r

,

则，线性相关(| 8这里约定当分母为 0时分子也为 0。 )

Z

i ::::则：一)(1,,,见一，0线相。 f 3设孥… k z:,…n可 即1性关 _ e d, ( 0 2 ) ,卢lp lp 2 Ip n

引理 4设 A, B为 n阶实对称方阵，若对任意的∈ 均有嬲：,必有 A O或 B 0尺， 0则==。

证明 4若 A≠0则必存在。 R,,∈ 使得。≠0对任意的∈尺若 x x,由已知条件得 T。 ,, r#O则 Ar

xB=; x x O注意￣h t=x t )A(+x)f o 02 rx为的二次函数且 ( )0可见当 t rx O若 r=, A J l()(+ o x t=‘ Ax+tA 0 x o x 0=,与

O充分接近但不等于 0时 ()(。 x

t ),￡=卅执 ) A(+。≠0由已知条件知当 t 0 x与充分接近但不等于 0时(+ )B(+x=, t。 (‰ ) 0从而有 xB=i ( x)卅=, rx l卅。 r x t。 )0即对一切∈R,有 xB=, m都 rx O于是 B O=。.

2主要结论

定 1 )在。微 ) 0满条戈≠若碧在 D理设，) 可。(=足件 ( 0景存，, g均处 ( _ ), g且。, )则 (,性关存常得，) )等尼进步定，)。 X )相，在数， D。D。景=若一假 ) o (线即 )使 (= (, 且。 g在 (附有连二偏导则任与D( )交非量D, DH( )≠,必 近续的阶数，对一 。的零向 若 。 o有正： D则:

兰gi

:

。

gL J D

H (0 D』 g ) g

证明 5由微分公式： g ) (= X) o )= ( )凹 + () 1

其中r:=

,为广加时的无穷小量。,

由理知在l…线无且此个向分近等时 定。引 2存 f,,性关当沿 n方与充接 (于 )有义’ f 2不会又由于l i m存在，于是 n个方向极限 l i m引

(,, n存在且相等， 12…,)注意到当沿 l 趋于

g xJ t

泰勒公式

第期 6

刘忠新：于元数罟定极的些 建许忠关多函型未式限一结

3

B,2+=/,见0,均 -￣L高阶无小由 1得： -=, r z,u,、可【为t0- 的穷量，(可 t 0 r -,t+t t )m:lm i

辛 )+ ():D ) ( 2’ , n,)…, D (o to t l ( gx)=

( 2 )

由引理 4及 ( ) 2即得结论的第一部分。 进一步假定 )g戈在。,( )附近有连续的二阶偏导数，由二阶泰勒公式则+ o r2 .

(。+ (。 )u )

,= (+ ( r其中r、,, -0 g ) ( ) ) 2,:/卢为r￣时的无穷小量。由 ( )≠及 - D D 0。。T以 )0 _ nl . x / i () m Ts -

。T

油 隅结论

二部是否存在。

例 1设 z (,)由船i(, ) c+ 10确定的隐函数， ,是， n, 0 e -所 _讨论

解

然( ),限罟。隐数微法 z ) (o近连的导 1显 , 0极为型由函的分知，点o)有续偏 o=该 o (在， y附数且 (,) …… 此处隐藏：3565字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……