2017_2018学年高中数学第二单元平面向量2.2.3用平面向量坐标表示向量共线条件学

2017_2018学年高中数学学案北师大版必修4含答案

2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件 学习目标 1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.

3.掌握三点共线的判断方法.

知识点 向量共线条件

已知下列几组向量：

(1)a ＝(0,3)，b ＝(0,6)；

(2)a ＝(2,3)，b ＝(4,6)；

(3)a ＝(－1,4)，b ＝(3，－12)；

(4)a ＝(12，1)，b ＝(－12

，－1). 思考1 上面几组向量中，a ，b 有什么关系？

思考2 以上几组向量中，a ，b 共线吗？

思考3 当a ∥b 时，a ，b 的坐标成比例吗？

思考4 如果两个非零向量共线，你能通过其坐标判断它们是同向还是反向吗？

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梳理 向量共线的坐标表示

设a ，b 是非零向量，且a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2).

(1)当a ∥b 时，有__________________.

(2)当a ∥b ，且b 不平行于坐标轴，即b 1≠0，b 2≠0时，有________________.即两个向量平行的条件是相应坐标__________.

类型一 向量共线的判定与证明

例1 (1)下列各组向量中，共线的是( )

A.a ＝(－2,3)，b ＝(4,6)

B.a ＝(2,3)，b ＝(3,2)

C.a ＝(1，－2)，b ＝(7,14)

D.a ＝(－3,2)，b ＝(6，－4)

(2)已知A (2,1)，B (0,4)，C (1,3)，D (5，－3).判断AB →与CD →是否共线？如果共线，它们的方

向相同还是相反？

反思与感悟 此类题目应充分利用平行向量基本定理或向量共线坐标的条件进行判断，特别是当利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配.

跟踪训练1 已知A ，B ，C 三点的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，AE →＝13AC →，BF →＝13

BC →， 求证：EF →∥AB →.

类型二 利用向量共线求参数

引申探究

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1.若本例条件不变，判断当k a ＋b 与a －3b 平行时，它们是同向还是反向？

2.在本例中已知条件不变，若问题改为“当k 为何值时，a ＋k b 与3a －b 平行？”，又如何求k 的值？

例2 已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？

反思与感悟 根据向量共线条件求参数问题，一般有两种思路，一是利用平行向量基本定理a ＝λb (b ≠0)列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x 1y 2－x 2y 1＝0求解.

跟踪训练2 设向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线，则λ＝________.

类型三 三点共线问题

例3 已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k ).当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线？

反思与感悟 (1)三点共线问题的实质是向量共线问题，两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的，利用向量平行证明三点共线需分两步完成：①证明向量平行；②证明两个向量有公共点.

(2)若A ，B ，C 三点共线，即由这三个点组成的任意两个向量共线.

跟踪训练3 已知A (1，－3)，B ⎝ ⎛⎭

⎪⎫8，12，C (9,1)，求证：A ，B ，C 三点共线.

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1.已知a ＝(－1,2)，b ＝(2，y )，若a ∥b ，则y 的值是( )

A.1

B.－1

C.4

D.－4

2.与a ＝(6,8)平行的单位向量为( )

A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35

，－45 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35

，－45 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45或⎝ ⎛⎭⎪⎫－35

，－45 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫±35

，±45 3.已知三点A (1,2)，B (2,4)，C (3，m )共线，则m 的值为________.

4.已知四边形ABCD 的四个顶点A ，B ，C ，D 的坐标依次是(3，－1)，(1,2)，(－1,1)，(3，－5).求证：四边形ABCD 是梯形.

5.已知A (3,5)，B (6,9)，M 是直线AB 上一点，且|AM →|＝3|MB →|，求点M 的坐标.

1.两个向量共线条件的表示方法

已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，

(1)当b ≠0，a ＝λb .

(2)x 1y 2－x 2y 1＝0.

(3)当x 2y 2≠0时，x 1x 2＝y 1y 2，即两向量的相应坐标成比例.

2.向量共线的坐标表示的应用

(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线.联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、