《数值分析简明教程》(第二版)王能超课后习题答案
时间：2025-07-12
第一章
题12 给定节点x0= 1，x1=1，x2=3，x3=4，试分别对下列函数导出拉格朗日插值余项：
（1） （1） f(x)=4x 3x+2 （2） （2） f(x)=x 2x 解 （1）f
(4)
4
3
3
(x)=0，
f(4)(ξ)
f(x) p(x)=(x x0)(x x1)(x x2)(x x3)=0
4!； 由拉格朗日插值余项得
(4)
（2）f(x)=4!
由拉格朗日插值余项得
f(x) p(x)=
4!
(x x0)(x x1)(x x2)(x x3)
=(x+1)(x 1)(x 3)(x 4). 4!
题15 证明：对于f(x)以x0，x1为节点的一次插值多项式p(x)，插值误差
(x1 x0)2
f(x) p(x)≤maxf′′(x)
x0≤x≤x18.
f′′(ξ)
(x x0)(x x1)2!证 由拉格朗日插值余项得，其中x0≤ξ≤x1， maxf′′(x)f′′(ξ)x0≤x≤x1
f(x) p(x)=(x x0)(x x1)≤(x x0)(x x1)
2!2!
2
(x x)
≤10maxf′′(x)
x0≤x≤x18.
f(x) p(x)=
题22 采用下列方法构造满足条件p(0)=p′(0)=0，p(1)=p′(1)=1的插值多项式
p(x)：
（1） （1） 用待定系数法；
（2） （2） 利用承袭性，先考察插值条件p(0)=p′(0)=0，p(1)=1的插值多项式
p(x).
解 （1）有四个插值条件，故设p(x)=a0+a1x+a2x+a3x，p′(x)=a1+2a2x+3a3x，
2
3
2
a0=0
a+a+a+a=1 0123
a1=0
a+2a2+3a3=1
代入得方程组 1 a0=0
a=0 1
a2=2 a= 1
解之，得 3
∴p(x)=2x2 x3；
（2）先求满足插值条件p(0)=p′(0)=0，p(1)=1的插值多项式p(x)，由0为二重零点，可设p(x)=ax，代入p(1)=1，得a=1，∴p(x)=x；
再求满足插值条件p(0)=p′(0)=0，p(1)=p′(1)=1的插值多项式p(x)，可设
2
2
p(x)=x2+bx2(x 1)，Qp′(x)=2x+2bx(x 1)+bx2，代入p′(1)=1，得b= 1，∴p(x)=x2 x2(x 1)=2x2 x3.
x3+x20≤x≤1S(x)= 3
2
2x+bx+cx 11≤x≤2是以0,1,2为节点的三次样条 题33 设分段多项式
函数，试确定系数b,c的值.
解 由S(1)=2得2+b+c 1=2，∴b+c=1；
3x2+2x0<x<1
S′(x)= 2
6x+2bx+c1<x<2，由S′(1)=5得6+2b+c=5，∴2b+c= 1；
联立两方程，得b= 2,c=3，
0<x<1 6x+2
S′′(x)=
′′(1)=8=S+′′(1)， 12x+2b1<x<2，S 且此时
S(x)是以0,1,2为节点的三次样条函数.
2x+4y=11 3x 5y=3
x+2y=6
题35 用最小二乘法解下列超定方程组： 2x+y=7.
解 记残差的平方和为
f(x,y)=(2x+4y 11)2+(3x 5y 3)2+(x+2y 6)2+(2x+y 7)2 f830 =0x= x 273 36x 6y 102=0 f=0 y=113
91. y 令 ，得 6x+92y 96=0，解之得
题37 用最小二乘法求形如y=a+bx的多项式，使与下列数据相拟合：
19 25 31 38 44 x
2
y19.0 32.3 49.0
2
73.3 97.8
解 拟合曲线中的基函数为 0(x)=1， 0(x)=x，
( 0, 0)( 0, 1) a (f, 0)
= ( , )( , )b(f, ) 1000 1 ， 其法方程组为
其中( 0, 0)=5，( 0, 1)=( 1, 0)=5327，( 1, 1)=7277699，(f, 0)=271.4，
532 a==0.9726 547
b=285=0.05
2
(f, 1)=369321.5，解之得 5696 ，∴y=0.9726+0.05x.
第二章
题3 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量地高，并指明求积公式所具有的代数精度：
（2） 0
（2）从结论“在机械求积公式中，代数精度最高的是插值型的求积公式”出发，
∫
1
113
f(x)dx≈A0f()+A1f(+A2f()
424
13x x ()11
=2A0=∫l0(x)dx=∫003( )4244，
13()( xx111A1=∫l1(x)dx=∫=
003( )( )
2424，
11( )( )xx112A2=∫l2(x)dx=∫=
003( )( 4442，
1211123∴∫f(x)dx≈f( f(+f()0343234，
当f(x)=x时，有
3
1
∫04， 左边＝0
2111232111231f() f(+f(= (3 ()3+ (3=432343432344， 右边＝3
1
f(x)dx=∫x3dx=
1
左边＝右边， 当f(x)=x时，有
4
1∫05， 左边＝0
21112321112337f() f(+f(= (4 (4+ ()4=43234343234192， 右边＝3
1
f(x)dx=∫x4dx=
1
左边≠右边，所以该求积公式的代数精度为3.
题8 已知数据表
1.1 x
1.3 3.6693
1.5 4.4817
e
x
3.0042
试分别用辛甫生法与复化梯形法计算积分∫解 辛甫生法
1.5
1.5
1.1
exdx
.
∫
1.1
exdx≈
1.5 1.1
(3.0042+4×3.6693+4.4817)=1.477546；
复化梯形法
1.5
0.2
(3.0042+2×3.6693+4.4817)=1.48245
∫1.12.
14π=∫01+x2
题17 用三点高斯公式求下列积分值.
1
x=(t+1)
2解 先做变量代换，设，
11418
dt=∫ 1∫
14+(t+1)2dt1422dx1+(t+1)2∫4 ＝则 01+x
edx≈
x
5
≈×9
8858+×+×222
94+(
0+1)9 4+ 1 4+1
=3.141068.
第三章
用欧拉方法求解初值问题y′=ax+b，y(0)=0： （1） 试导出近似解yn的显式表达式； 解 （1）其显示的Euler格式为：
8
yn=yn 1+hf(xn 1,yn 1)=yn 1+h (axn 1+b)
故yn 1=yn 2+h (axn 2+b) LL
将上组式子左右累加，得
y1=y0+h (ax0+b)
yn=y0+ah(x0+L+xn 2+xn 1)+nhb
=ah(0+h+2hL+(n 2)h+(n 1)h)+nhb
=ah2n(n 1)/2+nhb
yn+1=yn+hK1
K=f(xn+ph,yn+qhK1). pq题10 选取参数、，使下列差分格式具有二阶精度： 1
解 将K1在点(xn,yn)处作一次泰勒展开，得
2
K1=f(xn+ph,yn+qhK1)=f(xn,yn)+phfx(xn,yn)+qhK1fy(xn,yn)+O(h) =f(xn,yn)+phfx(xn,yn)
+qh(f(xn,yn)+phfx(xn,yn)+qhK1fy(xn,yn)+O(h2))fy(xn,yn)+O(h2)=f(xn,yn)+phfx(xn,yn)+qhf(xn,yn)fy(xn,yn)+O(h2)
代入，得
yn+1=yn+h(f(xn,yn)+phfx(xn,yn)+qhf(xn,yn)fy(xn,yn)+O(h2))
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