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第二章

随机变量及其分布

离散型随机变量的概率分布随机变量的分布函数连续型随机变量的概率密度随机变量的函数的分布

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第二章随机变量及其分布

§1随机变量

§1

随机变量

例 1袋中有3只黑球，2只白球，从中任意取出3只球.我们将3只黑球分别记作1,2,3号，2只白球分别记作4,5号，则该试验的样本空间为 1, 2, 3 1, 3, 4 S 2, 3, 4 3, 4, 5

1, 2, 4 1, 2, 5 1, 3, 5 1, 4, 5 2, 3, 5 2, 4, 5

考察取出的3只球中的黑球的个数。

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第二章随机变量及其分布

§1随机变量

我们记取出的黑球数为X,则 X的可能取值为1,2, 3.因此， X是一个变量.但是， X取什么值依赖于试验结果，即 X的取值带有随机性，所以，我们称 X为随机变量.X的取值情况可由下表给出：样本点黑球数 X样本点黑球数 X

1, 2, 3 1, 2, 4 1, 2, 5 1, 3, 4 1, 3, 5

3 2 2 2 2

1, 4, 5 2, 3, 4 2, 3, 5 2, 4, 5 3, 4, 5

1 2 2 1 1

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第二章随机变量及其分布

由上表可以看出，该随机试验的每一个结果都对应着变量 X的一个确定的取值，因此变量 X是样本空间S上的函数：

X X e

e S

我们定义了随机变量后，就可以用随机变量的取值情况来刻划随机事件.例如

e:X e 2 X 2

表示取出2个黑球这一事件；

X 2

表示至少取出2个黑球这一事件，等等.

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第二章随机变量及其分布

§1随机变量

通常随机变量用大写的英文字母X、Y、Z、

或希腊字母 、 、 、 等来表示.

例2掷一颗骰子，令 X:出现的点数.则 X就是一个随机变量.它的取值为1,2,3,4,5,6.

X 4 表示掷出的点数不超过 4这一随机事件；

X取偶数 表示掷出的点数为偶数这一随机事件.

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第二章随机变量及其分布

§1随机变量

例3上午 8:00~9:00在某路口观察，令： Y:该时间间隔内通过的汽车数.则 Y就是一个随机变量.它的取值为 0,1,….

Y

100 100

表示通过的汽车数小于100辆这一随机事件；

50 Y

表示通过的汽车数大于 50辆但不超过 100辆这一随机事件.注意 Y的取值是可列无穷个！

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第二章随机变量及其分布

§1随机变量

例 4观察某电子元件的寿命(单位：小时),令 Z:该电子元件的寿命.则Z就是一个随机变量.它的取值为所有非负实数.

Z 500

表示该电子元件的寿命不超过500小时这一随机事件.

Z 1000 表示该

电子元件的寿命大于 1000小时这一随机事件.注意 Z的取值是不可列无穷个！

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第二章随机变量及其分布

§1随机变量

例 5掷一枚硬币，令： 1 X 0掷硬币出现正面;掷硬币出现反面 .

则X是一个随机变量.

说明：在同一个样本空间上可以定义不同的随机变量.

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第二章随机变量及其分布

§1随机变量

例 6掷一枚骰子，在例2中，我们定义了随机变量 X表示出现的点数.我们还可以定义其它的随机变量，例如我们可以定义：

; 1出现偶数点 Y . 0出现奇数点

等等.

1点数为6; Z 0点数不为6.

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第二章

随机变量及其分布

§2离散型随机变量 离散型随机变量的分布率与性质

一些常用的离散型随机变量

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第二章随机变量及其分布

§2离散型随机变量

§2离散型随机变量

一、离散型随机变量的分布率与性质1)离散型随机变量的定义如果随机变量 X的取值是有限个或可列无穷个，则称 X为离散型随机变量.

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第二章随机变量及其分布

§2离散型随机变量

2)离散型随机变量的分布律设离散型随机变量 X的所有可能取值为

x 1, x 2, , x n, 并设 P X x n p n则称上式或

n 1,x2 p2 ,

2, xn pn

X P

x1 p1

,

为离散型随机变量 X的分布律.

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第二章随机变量及其分布

§2离散型随机变量

3)离散型随机变量分布律的性质:

⑴

对任意的自然数n,有 p n 0;

⑵

pn

n

1.

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第二章随机变量及其分布

§2离散型随机变量

例 1从1~10这10个数字中随机取出5个数字，令 X:取出的5个数字中的最大值.试求X的分布律.

求分布率一定要说解： X的可能取值为 5,6,7,8,9,10.并且 4明 k的取值范围！ C

P X k =—— 5C 10

k 1

k 5, 6, , 10 .

具体写出，即可得 X的分布律：

X P

51 252

65 252

715 252

835 252

970 252

10126 252

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第二章随机变量及其分布

§2离散型随机变量

例2

将 1枚硬币掷 3次，令

X:出现的正面次数与反面次数之差.试求： (1)X的分布律；( 2) P 1.5 X 3 .解：的可能取值为 -3, - 1,1,3.并且分布率为 X

X

-31 8

-13 8

13 8

31 8

Pk

6 P 1.5 X 3 P X 1 P X 1 . 8

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第二章随机变量及其分布

§2离散型随机变量

例 3设随机变量 X的分布律为 1 P X n c 4 n

n 1, 2, 试求常数c. n

解：由分布率的性质，得

1 1 P X n c n 1 n 1 4 该级数为等比级数，故有 1 1 c c n 1 4 n

所以

c 3.

c 1 3 1 4

1 4