高考第一轮复习——几何证明选讲;参数方程与极坐标;矩阵与变换-34

二、重难点提示

重点：参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化；几何证明选讲：求角度，线段长度，面积，比值等；求常见的平面变换公式及其矩阵；复数的概念及其代数运算。二阶矩阵乘法的运算及其在变换中的应用。

难点：利用曲线的参数方程、极坐标方程计算某些量或讨论某些量之间的关系；恰当添加辅助线进行几何计算与证明；求曲线在二阶矩阵对应的线性变换作用下的曲线方程及其图形计算；二阶矩阵的特征值、特征向量。

②推论：同弧（或等弧）上的弦切角相等，同弧（或等弧）上的弦切角与圆周角相等。

5＋2

点评：“平行出相似”“平行成比例”，故本讲中平行辅助线是常作的辅助线之一，遇到困难时应常考虑此类辅助线。

例题2 如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC＝ED。

（1）证明：CD//AB；

（2）延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆。

思路导航：（1）利用圆内接四边形的外角等于其内对角，证明出同位角相等即可；（2）连结AF，GB，证明△EFA≌△EGB，得出∠AFG＋∠GBA＝180°即可。

解题过程：

（1）因为EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD。因为A，B，C，D四点在同一圆上， 所以∠EDC＝∠EBA。 故∠ECD＝∠EBA， 所以CD//AB。

（2）由（1）知，AE＝BE，因为EF＝EG， 故∠EFD＝∠EGC，从而∠FED＝∠GEC。

连结AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE＝∠GBE， 又CD//AB，∠EDC＝∠ECD，

所以∠FAB＝∠GBA。所以∠AFG＋∠GBA＝180°。 故A，B，G，F四点共圆。

点评：等腰三角形两底角相等、同弧所对圆周角相等、三角形外角等于不相邻的两个内角之和、圆的内接四边形的外角与内对角相等、对角互补等都是解决角的问题的基本思路；

相交弦定理、切割线定理、相似三角形等知识都是解决边问题的基本途径。

知识点二：坐标系与参数方程

2. 圆的极坐标方程：

在极坐标系中，以极点为圆心，r为半径的圆的极坐标方程是 r；

在极坐标系中，以C(a,0)(a 0)为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是 2acos ；

2

3. 在极坐标系中， ( 0)表示以极点为起点的一条射线； ( R)表示过

在极坐标系中，以C(a,

a为半径的圆的极坐标方程是 2asin 。 )(a 0)为圆心，

极点的一条直线。

4. 在极坐标系中，过点A(a,0)(a 0)，且垂直于极轴的直线l的极坐标方程是 cos a。 5. 直线的参数方程 标准式（“点角式”）

其中θ的几何意义为圆心角（参看下图）

（2）椭圆的参数方程

其中θ为椭圆的离心角（参看下图）

1112 b 11111221a11a12 x0 的乘法规则： （2）二阶矩阵 与列向量 a21a22 y0 a11 a12 x0 ＝ a11×x0＋a12×y0 . a21a22 y0 a21×x0＋a22×y0

（3）两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下： a11 a12 b11 b12 ＝ a11×b11＋a12×b21 a11×b12＋a12×b22 a21a22 b21b22 a21×b11＋a22×b21a21×b12＋a22×b22

（4）两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律。即（AB）C＝A（BC），

21

AB≠BA，由AB＝AC不一定能推出B＝C.

一般地，两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算。

2. 常见的平面变换

恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换六个变换。 3. 逆变换与逆矩阵

（1）对于二阶矩阵A、B，若有AB＝BA＝E，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵； （2）若二阶矩阵A、B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且（AB）1＝B1A1.

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点评：运用二阶矩阵与平面向量的乘法法则进行计算，通过比较变换前后的点的坐标说明其几何意义。

例题1 已知线段AA 2a，直线l垂直平分AA 于O，在l上取两点P，P ，使其满足 OP·OP 4，求直线AP与A P 的交点M的轨迹方程。

解答过程：因为

，令M＝，则

22 yi 22 yi 1

3 1

f( ) ( 1)( 4) 0，则 1 1, 2 4，

2 2

a1 1 1 1 1 1

它们的特征向量分别为 ， 设 ，则 3 ( 2) ，

2 1 1 2 b1 7

1010

1 1 3 4 2 3 4 10

则M 3 4 ( 2) 1 1010 1 2 3 4 4 3 4

10

10

照此发展下去，10个时段后，两种群的数量趋于相等。

点评：直接计算M10需要进行10次矩阵乘法运算，其运算量是不可想象的，但利用

A10 的简写形式却使得计算量完全可以忍受，这体现了特征值与特征向量的应用。

一、参数方程与极坐标

1.

2. x，y的隐含范围的影响。

3. 般是统一为直角坐标方程，主要是求形结合思想等。

4. 不变性。

1. 圆周角定 3.

三、矩阵与变换

1. M，N，一般地有MN≠NM；同样地，若乘积矩阵MN）≠1N1，而（MN）1=N1M1，后者可用来求乘积矩

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阵的逆矩阵。

2. 若向量 为属于矩阵Ml的特征向量，则所有与 共线的非零向量均是属于l的特征向量，即若M ＝ ，则M(k ) (k )，其中k为非零实数。利用矩阵特征值与特征向量知识，可方便进行矩 …… 此处隐藏：1311字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……