9.2空间的平行直线与异面直线-空间的平行直线20071108

教学目的： 1.会判断两条直线的位置关系; 2.理解公理四,并能运用公理四证明线线平行; 3.掌握等角定理,并能运用它解决有关问题; 4.了解平移的概念，初步了解平几中成立的 结论哪些在立几中成立.

引入 把一张纸对折几次，为什么它们的折痕平行？ 如图,把一张长方形的 纸对折两次，打开后得4个 全等的矩形，每个矩形的 竖边是互相平行的，再应 用平行公理，可得知它们 的折痕是互相平行的.

讲解新课 1.空间两直线的位置关系(1)相交——有且只有一个公共点； (2)平行——在同一平面内，没有公共点； (3)异面——不在任何一个平面内，没有公共点.D1 A1 b D A B C a B1 C1

讲解新课 2.平行直线(1)公理4 :平行于同一条直线的两条直线互相平行 推理模式： a // b, b // c

a // cc

a

b

公理4表述的性质叫做空间平行线的传递性;

讲解新课(2)空间四边形：顺次连结不共面的四点 A,B,C,D所组成的四边形叫空间四边形，相对顶点 的连线AC,BD叫空间四边形的对角线 .D

C A B

讲解新课(2)空间四边形：顺次连结不共面的四点 A,B,C,D所组成的四边形叫空间四边形，相对顶点 的连线AC,BD叫空间四边形的对角线 .D

C A B

讲解新课 (3)等角定理：如果一个角的两边和另一个角的 两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等.分析：在平面内，这个结论我们已经证明成立了. 在空间中，这个结论是否成立，还需通过证明. 要证明两个角相等， C' 常用的方法有：证明两个 E′ A' B' 三角形全等或相似，则对 D′ 应角相等；证明两直线平 行，则同位角、内错角相 C 等；证明平行四边形，则 E A 它的对角相等，等等. BD →等角定理演示

讲解新课 (3)等角定理：如果一个角的两边和另一个角的 两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等. 已知： BAC 和 B A C 的边 AB // A B , AC // A C , 并且方向相同. 求证： BAC B A C 证明：在 BAC 和 B A C 的两边分别截取 C'

AD A D , AE A E AD // A D , AD A D

E′

A'

D′

B' CE

∴ A D DA 是平行四边形， AA // DD , AA DD

A

D

B

讲解新课 (3)等角定理：如果一个角的两边和另一个角的 两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等. 已知： BAC 和 B A C 的边 AB // A B , AC // A C , 并且方向相同. 求证： BAC B A C

AA // DD , AA DD 同理 AA // EE , AA EE EE // DD , EE DD 即 D E ED 是平行四边形，

C'E′

A'

D′

B' CE

所以， BAC B A C .

∴ ED E D ,∴ ADE A D E

,AD

B

讲解新课(4)等角定理的推论:如果两条相交直线和另 两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的 锐角(或直角)相等.Q a′ a

b

P

b′

讲解范例 例1 已知四边形ABCD是空间四边形，E、H分 别是AB、AD的中点，F、G分别是边CB、CD A 上的点，且 CF CG 2CB CD 3

求证：四边形EFGH是梯形. 分析：梯形就是一组对边 平行且不相等的四边形.B

H E D G F C

考虑哪组对边会平行呢？为什么？ 证明对边不相等可以利用平行线分线段成比例.

讲解范例 例1 已知四边形ABCD是空间四边形，E、H分 别是AB、AD的中点，F、G分别是边CB、CD 上的点，且 CF CG 2A

CB

CD

3

H

求证：四边形EFGH是梯形. 证明：如图，连接BD 1 ∵EH 是△ABD 的中位线，∴EH//BD,EH= BD. 2 2 CF CG 2 ,∴FG//BD,FG= BD. 又在△BCD 中， CB CD 3 3 根据公理4,EH//FG 又FG>EH,∴四边形EFGH的一组对边平行但不相等 ∴四边形EFGH是梯形.D G B F

E

C

例 2 如图， A 是平面 BCD 外的一点 G , H 分别是

ABC , ACD 的重心.求证： GH // BD .→例题2演示证明：连结 AG, AH 分别交 BC , CD 于 M , N ,

连结 MN∵ G , H 分别是 ABC , ACD 的重心， ∴ M , N 分别是 BC , CD 的中点，

A

GH // MN 由公理 4 知 GH // BD .

AG AH 2 , ∴ MN // BD ,又∵ AM AN 3B

GM

H D CN

课堂练习 判断下列命题的真假，真的打“√”,假的打“×” 1.平行于同一直线的两条直线平行( √ ) 2.垂直于同一直线的两条直线平行( × ) 3.过直线外一点，有且只有一条 D1 A1 B1 直线与已知直线平行( √ ) 4.与已知直线平行且距离等于定 D 长的直线只有两条( × ) A B 5.若一个角的两边分别与另一个 角的两边平行，那么这两个角相等(× ) 6.若两条相交直线和另两条相交直线分别平行， 那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等( √ )

C1

C

课堂练习

7.向量 AB 与 A1 B1 ,AC 与 A1C1 是两组方向相同的共线向量，那么 BAC B1 AC1 ( 1C1 A1 C B B1

√

)

A