20080514高一数学(1.4.2-2正弦函数、余弦函数的性质)

1.4.2-2正弦函数、余弦函数的性质

1.4.2

正弦函数、余弦函数的性质 第二课时

1.4.2-2正弦函数、余弦函数的性质

问题提出

1.周期函数是怎样定义的？ 对于函数 f(x) ,如果存在一个非 零常数 T ,使得当 x 取定义域内的每一 个值时，都有 f(x +T)=f(x), 那么函 数f(x)就叫做周期函数，非零常数 T 就 叫做这个函数的周期.

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2.正、余弦函数的最小正周期是多少？ y = A cos(wx + j ) y = A sin(wx和 +j) 函数(A ? 0, w 0)

的最小正周期是多少？

3.周期性是正、余弦函数所具有的一个 基本性质，此外，正、余弦函数还具有 哪些性质呢？我们将对此作进一步探究.

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探究(一):正、余弦函数的奇偶性和单调性

思考1:观察下列正弦曲线和余弦曲线的 对称性，你有什么发现？1 -6π -4π -5π -3π -1 2

y

y=sinxπ 3π 2π 4π 5π 6π x

-2π

-πO

2 2 2

1 2O

y

2 2

y=cosx 2 2

2

x

2

-1

2

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思考2:上述对称性反映出正、余弦函数 分别具有什么性质？如何从理论上加以 验证？ 正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.

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思考3:观察正弦曲线，正弦函数在哪些 区间上是增函数？在哪些区间上是减函 数？如何将这些单调区间进行整合？1 -6π y πO

y=sinx3π 2π 4π 5π 6π

-4π-5π -3π

-2π

-π-1

x

正弦函数在每一个闭区间[ 2k

[ 2k 2k 2

上都是增函数；在每一个闭区间 2k 上都是减函数.

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思考4:类似地，余弦函数在哪些区间上 是增函数？在哪些区间上是减函数？ 2

2 2 2

1 2O

y

2 2

y=cosx 2 2

2

x

2

-1

2

余弦函数在每一个闭区间 [ 2k 2k 上都是增函数；在每一个闭区间[2k 2k 上都是减函数.

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思考5:正弦函数在每一个开区间 (2kπ ,2 +2kπ ) (k∈Z)上都是增函 数，能否认为正弦函数在第一象限是增 函数？

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探究(二):正、余弦函数的最值与对称性

思考1:观察正弦曲线和余弦曲线，正、 余弦函数是否存在最大值和最小值？若 存在，其最大值和最小值分别为多少？思考 2 :当自变量 x 分别取何值时，正弦 函数y=sinx取得最大值1和最小值-1? 正弦函数当且仅当 x 2k 时取最大 值1, 当且仅当 x 2k 时取最小值-1

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思考 3 :当自变量 x 分别取何值时，余弦 函数y=cosx取得最大值1和最小值-1?

余弦函数当且仅当 x 2k 时取最大值1, 当且仅当 x (2k 1) 时取最小值-1.

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思考4:根据上述结论，正、余弦函数的 值域是什么？函数y=Asi

nω x(Aω ≠0) 的值域是什么？ [-|A| , |A|] 思考5:正弦曲线除了关于原点对称外， 是否还关于其它的点和直线对称？

正弦曲线关于点(kπ ,0)和直线p x = k p + (k 2 Z ) 对称.

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思考 6 :余弦曲线除了关于 y 轴对称外， 是否还关于其它的点和直线对称？ 余弦曲线关于点 对称.p (k p + , 0) 和直线 x=kπ 2

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理论迁移

例1 求下列函数的最大值和最小值，并 写出取最大值、最小值时自变量x的集合 (1) y=cosx+1,x∈R; (2)y=-3sin2x,x∈R.

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例2 比较下列各组数的大小: (1) sin( )与 sin( ); 18 1023 17 (2) cos( )与 cos( ). 5

例3 求函数

1 y sin( x , ) 2 3

x∈[-2π ,2π ]的单调递增区间.

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小结作业

1. 正、余弦函数的基本性质主要指周期 性、奇偶性、单调性、对称性和最值， 它们都是结合图象得出来的，要求熟练 掌握.

2. 正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函 数 . 一 般 地 ， y=Asinω x 是 奇 函 数 ， y=Acosω x(Aω ≠0)是偶函数.