河北省唐山市高三数学第三次模拟考试试题理(扫描版)

时间：2025-05-05

河北省唐山市高三数学第三次模拟考试试题理(扫描版)

河北省唐山市2015届高三数学第三次模拟考试试题理（扫描版）

河北省唐山市高三数学第三次模拟考试试题理(扫描版)

唐山市2014—2015学年度高三年级第三次模拟考试理科数学参考答案一、选择题：

A 卷：BCCA

B DCBBA D

C B 卷：ACDAB CDABB DC 二、填空题：

（13）6；（14）3；（15）5；

（16）4．

三、解答题：（17）（Ⅰ）证明：因为2c2－2a2＝b2，所以2ccosA －2acosC ＝2c ·b2＋c2－a22bc －2a ·a2＋b2－c2

2ab

＝

b2＋c2－a2b －a2＋b2－c2b ＝2c2－2a2

＝b ．

…4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）和正弦定理以及sinB ＝sin(A ＋C)得

2sinCcosA －2sinAcosC ＝sinAcosC ＋cosAsinC ，即sinCcosA ＝3sinAcosC ，

又cosAcosC ≠0，所以tanC ＝3tanA ＝1，故C ＝45°． …8分

再由正弦定理及sinA ＝1010得c ＝asinC

sinA ＝5，于是b2＝2(c2－a2)＝8，b ＝22，

从而S ＝ 1

2absinC ＝1． …12分

（18）解：

（Ⅰ）由题中数据可知，

－x 甲＝85＋83＋86＋96＋905＝88，－x 乙＝88＋84＋83＋92＋935＝88； S 2甲＝ 1 5＝21.2， S 2乙＝ 1 5＝16.4．

…6分

（Ⅱ）设甲队参加个人能力比赛成绩前三名在对抗赛的获胜的事件分别为A 、B 、C ，由题意可知P(A)＝ 2 3，P(B)＝P(C)＝ 1

3，且A 、B 、C 相互独立，

设甲队至少2名队员获胜的事件为E ，则E ＝(ABC)∪(AB －C )∪(A －B C)∪(－A BC)． …9分 P(E)＝ 2 3× 1 3× 1 3＋ 2 3× 1 3×(1－ 1 3)＋ 2 3×(1－ 1 3)× 1 3＋(1－ 2 3)× 1 3× 1 3＝ 11 27．

…12分

（19）（Ⅰ）证明：取BC 中点O ，连OA ，OA1．

因为侧面BCC1B1是矩形，所以BC ⊥BB1，BC ⊥AA1，因为截面A1BC 是等边三角形，所以BC ⊥OA1，

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于是BC ⊥平面A1OA ，BC ⊥OA ，因此：AB ＝AC ．

…4分

（Ⅱ）解：设BC ＝2，则OA1＝3，由AB ⊥AC ， AB ＝AC 得OA ＝1．

因为平面A1BC ⊥底面ABC ，OA1⊥BC ，所以OA1⊥底面ABC ．

如图，分别以OA ，OB ，OA1为正方向建立空间直角坐标系O-xyz ．

…6分

A(1，0，0)，B(0，1，0)，A1 (0，0，3)，C(0，－1，0)，

→＝(0，2，0)，BB1→＝AA1→＝(－1，0，3)， CA1

→＝(0，1，3)，A1B1→＝AB →＝(－1，1，0)．设平面BB1C 的法向量m ＝(x1，y1，z1)，

则⎩⎨⎧0×x1＋2×y1＋0×z1＝0，－1×x1＋0×y1＋3×z1＝0，

取m ＝(3，0，1)．设平面A1B1C 的法向量n ＝(x2，y2，z2)，

则⎩⎨⎧0×x2＋1×y2＋3×z2＝0，－1×x2＋1×y2＋0×z2＝0，取n ＝(－3，－3，1)． cos m ，n ＝m·n |m||n|＝－77，则二面角B －B1C －A1的余弦值为－77． …12分

（20）解：

（Ⅰ）由题意可得：3a2＋14b2＝1， …1分

将3x ＋2y －4＝0代入椭圆C ： (3a2＋4b2)x2－83a2x ＋16a2－4a2b2＝0

由Δ＝0得3a2＋4b2＝16， …3分联立解得：a2＝4，b2＝1．

于是椭圆C 的方程为：x24＋y2＝1． …5分

（II ）设直线l ：y ＝kx ＋m ，M(x0，y0)．

将直线l 的方程代入椭圆C 得(1＋4k2)x2＋8kmx ＋4m2－4＝0，

令Δ＝0，得m2＝4k2＋1，且x20＝4m2－4 1＋4k2，所以|OM|2＝1＋16k2 1＋4k2

． …7分又|OH|2＝m2 1＋k2＝1＋4k2 1＋k2，所以(cos ∠HOM)2＝(1＋4k2)2 (1＋16k2) (1＋k2)

． …9分因为(1＋16k2)(4＋4k2)≤(5＋20k2)2 4＝25(1＋4k2)2 4

，所以(1＋4k2)2 (1＋16k2) (1＋k2)

≥ 16 25，等号当且仅当k2＝ 1 4时成立．故k ＝± 1 2．…12分（21）解：（Ⅰ）f (x)＝ex －2x ．由题设得a ＝f (1)＝e －2，a ＋1＝f(1)＝e －1＋b ．故a ＝e －2，b ＝0． …4分（II ）由（Ⅰ）得，f(x)＝ex －x2，下面证明：当x ＞0时，f(x)≥(e －2)x ＋1．

设g(x)＝f(x)－(e －2)x －1，x ＞0．

则g (x)＝ex －2x －(e －2)，

设h(x)＝g (x)，则h (x)＝ex －2，

当x ∈(0，ln2)时，h (x)＜0，h(x)单调递减，

当x ∈(ln2，＋∞)时，h (x)＞0，h(x)单调递增．

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又h(0)＝3－e ＞0，h(1)＝0，0＜ln2＜1，h(ln2)＜0，所以x0∈(0，1)，h(x0)＝0，所以当x ∈(0，x0)或x ∈(1，＋∞)时，g (x)＞0；当x ∈(x0，1)时，g (x)＜0，故g(x)在(0，x0)和(1，＋∞)单调递增，在(x0，1)单调递减，又g(0)＝g(1)＝0，所以g(x)＝ex －x2－(e －2)x －1≥0．

因x ＞0，则ex ＋(2－e)x －1

x ≥x （当且仅当x ＝1时等号成立）． ① …8分

以下证明：当x ＞0时，x ＞4sinx

3＋cosx

．

令p(x)＝x －4sinx 3＋cosx

，则p

(x)＝1－4(3cosx ＋1) (3＋cosx)2＝(cosx －1)(cosx －5)

(3＋cosx)2

≥0，

（当且仅当x ＝2k ，k ∈Z 时等号成立）．

所以p(x)在(0，＋∞)单调递增，当x ＞0时，p(x)＝x －4sinx