《几何与代数》 科学出版社 第二章 矩阵1
时间：2025-07-09
线性代数-矩阵
几何与代数主讲: 主讲: 关秀翠东南大学数学系
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第二章 矩教学内容和学时分配 教 学 内 容 §2.1 矩阵的代数运算 §2.2 可逆矩阵 §2.3 分块矩阵 §2.4 矩阵的秩 §2.5 初等矩阵 §2.6 用Matlab解题 Matlab解题
阵学时数 2 2 1 1 2 1
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矩阵的基本概念 一. 矩阵与向量
Am×n = (aij)m×n (a
二.几种特殊的方阵 几种特殊的方阵 1. 三角形矩阵 2. 对角矩阵 Λ = diag(λ1, λ2, …, λn) = (λi δij) 3.数量矩阵 3.数量矩阵 Λ = (λδij) 4. 单位矩阵 En = (δij) 5. 行阶梯矩阵 0行最下方;主元列标随行标递增 行最下方; 主元全为1,主列为单位列向量 主列为单位列向量. 6. 行简化阶梯阵 主元全为1,主列为单位列向量. §2.1 矩阵的代数运算 一. 矩阵的线性运算 矩阵的线性运算 矩阵的乘法 二. 矩阵的乘法 矩阵的转置 三. 矩阵的转置
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§2.1 矩阵的代数运算
§2.1 矩阵的代数运算 矩阵的线性运算 一. 矩阵的线性运算 kA ± lB = (kaij ± lbij)m×n 向量: kα±lβ = (kai±lbi) (ka 向量: (ka (a 1. 加法 C = A+B = (aij+bij)m×n 注1: A, B同型. 同型. ka11 ka12 … ka1n kA = (kaij)m×n = ka21 ka22 … ka2n (ka 2. 数乘 … … … … kam1 kam2 … kamn ( 注2: 负矩阵 A = (aij)m×n ( 减法： 注3: 减法：A B = A + (B) (A, B是同型矩阵) 是同型矩阵)
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§2.1 矩阵的代数运算
3. 性质 是同型矩阵, 是数, 设A, B, C, O是同型矩阵, k, l是数, 则 (1) A + B = B + A, (2) (A + B) + C = A + (B + C), (A (B (3) A + O = A, (4) A + (A) = O, ( (5) 1A = A, 1A (6) k(lA) = (kl)A, lA) (kl) (7) (k + l)A = kA + lA, (k lA, (8) k(A + B) = kA + kB. kB. (9) kA = 0 k = 0 或 A=O. A=O. (10) A + X = B X = B A.
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§2.1 矩阵的代数运算
二. 矩阵的乘法单价 重量 (元/箱) (Kg/箱) 20 16 瓶装啤酒 50 20 易拉罐 30 16 干啤 25 16 生啤 总价( 总价(元) 总重(Kg) 总重(Kg) 南京 200 100 150 180 数量(箱) 苏州 180 120 160 150 常州 190 100 140 150
18000 200 100 B = 150 18000 180 180 120 160 150 190 100 140 150
20 50 30 25 A = 16 20 16 16
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数量(箱) 单价 重量 (元/箱) (Kg/箱) 南京 苏州 常州 20 16 200 180 190 瓶装啤酒 50 20 100 120 100 易拉罐 30 16 150 160 140 干啤 25 16 180 150 150 生啤 18150 16750 18000 总价( 总价(元) C= 总重(Kg) 总重(Kg) 10480 10240 9680 20 50 30 25 A = 16 20 16 16 200 100 B = 150 180 180 120 160 150 190 100 140 150
C = AB
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§2.1 矩阵的代数运算
例2. 四个城市间的单向航线如图所示. 1 四个城市间的单向航线如图所示. 表示从i市直达j市航线的条数, 若aij表示从i市直达j市航线的条数, 则右图可用矩阵表示为 0 1 1 1 2 A = (aij) = 1 0 0 0 (a 0 1 0 0 1 0 1 0 从 i 市经一次中转到达 j 市航线的条数 = ? 1 b =a a +a a +a a +a a .ij i1 1j i2 2j i3 3j i4 4j
4
3
2 B = (bij) = 0 (b 1 0
1 1 0 2
1 1 0 1
0 1 0 1
i = A×A
2 3 4
j
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§2.1 矩阵的代数运算
二. 矩阵的乘法 1. 设A = (aij)m×s , B =(bij)s×n , 则A与B的乘积是 (a =(b 乘积是 C = AB = (cij)m×n = ( Ai* B*j)= (c s aikbkj , ∑ k=1
其中
cij = ai1b1j + ai2b2j +…+ aisbsj = Σ aikbkj.k=1
s
... ... ... ... a a ... a is i1 i2 ... ... ... ...
M b1 j M b 2j M M M bs j
M M M = L cij L M M M
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§2.1 矩阵的代数运算
二. 矩阵的乘法 1. 设A = (aij)m×s , B =(bij)s×n , 则A与B的乘积是 (a =(b 乘积是 C = AB = (cij)m×n = ( Ai* B*j)= (c s aikbkj , ∑ k=1
其中
cij = ai1b1j + ai2b2j +…+ aisbsj = Σ aikbkj.k=1
s
注1: C = Am×nBr×s n = r 时才有意义，且Cm×s . 时才有意义， 注2: 性质 (1) (kA)B = k(AB), (kA) AB), (2) A(B+C) = AB + AC, (A+B)C = AC+BC, AC, AC+BC, (3) (AB)C = A(BC). (AB) BC).
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§2.1 矩阵的代数运算
a11b11+a12b21+a13b31 a11b12+a12b22+a13b32 AB = a21b11+a22b21+a23b31 a21b12+a22b22+a23b32 b11c11+b12c21 b11c12+b12c22 BC = b21c11+b22c21 b21c12+b22c22 b31c11+b32c21 b31c12+b32c22 可知， AB) BC)是同型的. 可知，(AB)C和A(BC)是同型的. 先比较(AB) BC) 的第一行第一列的元素. 先比较(AB)C和A(BC) 的第一行第一列的元素. b11 b12 a11 a12 a13 c11 c12 A= a a a , B = b21 b22 , C = . c21 c22 21 22 23 b31 b32
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§2.1 矩阵的代数运算
a11b11+a12b21+a13b31 a11b12+a12b22+a13b32 AB = a21b11+a22b21+a23b31 a21b12+a22b22+a23b32 a11 a12 a13 A= a21 a22 a23
c11 c12 C= c21 c22
BC =
b11c11+b12c21 b11c12+b12c22 b21c11+b22c21 b21c12+b22c22 b31c11+b32c21 b31c12+b32c22
[(AB)C]11=(a11b11+a12b21+a13b31)c11+(a11b12+a12b22+a13b32)c21 [(AB) =(a +(a
a11b11c11 + a12b21c11 + a13b31c11 + a11b12c21 + a12b22c21 + a13b32c21[A(BC)]11 =a11(b11c11+b12c21)+a12(b21c11+b22c21)+a13(b31c11+b32c21) BC)] )+a )+a
= = = =
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§2.1 矩阵的代数运算
= ∑ [(∑ a1pbpq )cq1] [(∑ (q=1 q=1 p=1
2
3
( ∑ a1pbp1 )c11 )cp=1
3
+
( ∑ a1pbp2 )c21 )cp=1
3
[(AB)C]11=(a11b11+a12b21+a13b31)c11+(a11b12+a12b22+a13b32)c21 [(AB) =(a +(a
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