2011年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版)(含解析版)
时间：2025-07-14
2011年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）复数z=1+i ，为z 的共轭复数，则z•﹣z﹣1=（）A．﹣2i B．﹣i C．i D．2i
2．（5分）函数y=（x≥0）的反函数为（）
A．y=（x∈R）B．y=（x≥0）C．y=4x2（x∈R）D．y=4x2（x≥0）3．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（）A．a＞b+1B．a＞b﹣1C．a2＞b2D．a3＞b3
4．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S k+2﹣S k=24，则k=（）
A．8B．7C．6D．5
5．（5分）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x ）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（）
A ．B．3C．6D．9
6．（5分）已知直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D 为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于（）
A ．
B ．
C ．D．1
7．（5分）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（）
A．4种B．10种C．18种D．20种
8．（5分）曲线y=e﹣2x+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为（）
A ．
B ．
C ．D．1
9．（5分）设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=（）
A ．﹣
B ．﹣
C ．
D ．
10．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=2x﹣4与C交于A，B两点，
第1页（共23页）
则cos∠AFB=（）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．（5分）已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为（）
A．7πB．9πC．11πD．13π
12．（5分）设向量，，满足||=||=1，=﹣，＜﹣，﹣＞=60°，则||的最大值等于（）
A．2B ．C ．D．1
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.
（注意：在试题卷上作答无效）
13．（5分）的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为．14．（5分）已知α∈（，π），sinα=，则tan2α=．
15．（5分）已知F1、F2分别为双曲线C ：的左、右焦点，点A∈C，点
M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|=．
16．（5分）已知E、F分别在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E=2EB，CF=2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知A﹣
C=，a+c=b，
求C．
第2页（共23页）
18．（12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3．设各车主购买保险相互独立．（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
（Ⅱ）X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求X的期望．
19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．
（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；
（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．
20．（12分）设数列{a n}满足a1=0且．
（Ⅰ）求{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设，记，证明：S n＜1．
第3页（共23页）
21．（12分）已知O为坐标原点，F为椭圆C ：在y轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为﹣的直线l与C交于A、B两点，点P 满足．（Ⅰ）证明：点P在C上；
（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．
22．（12分）（Ⅰ）设函数，证明：当x＞0时，f（x）＞0．（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方
式连续抽取20次，设抽到的20个号码互不相同的概率为p
，证明：
．
第4页（共23页）
2011年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）复数z=1+i ，为z 的共轭复数，则z•﹣z﹣1=（）A．﹣2i B．﹣i C．i D．2i
【考点】A5：复数的运算．
【专题】11：计算题．
【分析】求出复数z的共轭复数，代入表达式，求解即可．
【解答】解：=1﹣i ，所以=（1+i）（1﹣i）﹣1﹣i﹣1=﹣i
故选：B．
【点评】本题是基础题，考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力，常考题型．
2．（5分）函数y=（x≥0）的反函数为（）
A．y=（x∈R）B．y=（x≥0）C．y=4x2（x∈R）D．y=4x2（x≥0）
【考点】4R：反函数．
【专题】11：计算题．
【分析】由原函数的解析式解出自变量x的解析式，再把x 和y交换位置，注明反函数的定义域（即原函数的值域）．
【解答】解：∵
y=（x≥0），
∴x=，y≥0，
故反函数为
y=（x≥0）．
第5页（共23页）
第6页（共23页）
故选：B ．
【点评】本题考查函数与反函数的定义，求反函数的方法和步骤，注意反函数的
定义域是原函数的值域．
3．（5分）下面四个条件中，使a ＞b 成立的充分而不必要的条件是（ ）
A ．a ＞b +1
B ．a ＞b ﹣1
2011年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版)(含解析版).doc
将本文的Word文档下载到电脑
