较全

第二章 轴向拉伸和压缩

2-1 试求图示各杆1-1和2-2横截面上的轴力，并作轴力图。

（a）解：

；

； （b）解：

；

；

（c）解：

；

。 (d) 解：

。

[习题2-3] 石砌桥墩的墩身高l 10m，其横截面面尺寸如图所示。荷载F 1000kN，材料的密度

2.35kg/m3，试求墩身底部横截面上的压应力。

解：墩身底面的轴力为：

N (F G) F Al g 2-3图

1000 (3 2 3.14 12) 10 2.35 9.8 3104.942(kN)

较全

墩身底面积：A (3 2 3.14 12) 9.14(m2)

因为墩为轴向压缩构件，所以其底面上的正应力均匀分布。

N 3104.942kN 339.71kPa 0.34MPa 2A9.14m

2-4 图示一混合屋架结构的计算简图。屋架的上弦用钢筋混凝土制成。下面的拉杆和中间竖向撑杆用角钢构成，其截面均为两个75mm×8mm的等边角钢。已知屋面承受集度为

的竖直

均布荷载。试求拉杆AE和EG横截面上的应力。

解：

=

1） 求内力 取I-I分离体

得

（拉）

取节点E为分离体

，

故

（拉）

2） 求应力

75×8等边角钢的面积 A=11.5 cm2

较全

(拉

)

（拉）

2-5 图示拉杆承受轴向拉力

截面的夹角，试求当

，杆的横截面面积

。如以 表示斜截面与横

，30 ，45 ，60 ，90 时各斜截面上的正应力和切应力，并用图表

示其方向。 解：

较全

2-6 一木桩柱受力如图所示。柱的横截面为边长200mm的正方形，材料可认为符合胡克定律，其弹性模量E=10 GPa。如不计柱的自重，试求： （1）作轴力图；

（2）各段柱横截面上的应力； （3）各段柱的纵向线应变； （4）柱的总变形。

解：

（压）

（压）

较全

[习题2-7] 图示圆锥形杆受轴向拉力作用，试求杆的伸长。

解：取长度为dx截离体（微元体）。则微元体的伸长量为：

lFdxFFldx

， l d( l) dx 0EA(x)E0A(x)EA(x)

r rd d1dr r1x

x 1， ，r 21 x r1 2

l2l2r2 r1l

d d1dd d1d d d1

x 1) du 2dx A(x) 2x 1 u2，d(2

2l22l2 2l

2

2l

d ddx2ldu2l

221du ( 2) dx du，

A(x) (d1 d2)d2 d1 uu

因此，

lFFldx2Fldu

l dx ( )

0EA(x)E0A(x) E(d1 d2) 0u2

l

l

l

2Fl2Fl1 1

d dd E(d1 d2) u E(d d) 0112 2

x 1

2 2l 0

2Fl11

d ddd E(d1 d2) 211 l 1 22 2l

2-10 受轴向拉力F作用的箱形薄壁杆如图所示。已知该杆材料的弹性常数为E， ，试求C与D两点间的距离改变量

。

解：

横截面上的线应变相同

较全

因此

[习题2-11] 图示结构中，AB为水平放置的刚性杆，杆1，2，3材料相同，其弹性模量E 210GPa，已知l 1m，

A1 A2 100mm2，A3 150mm2，F 20kN。试求C点的水平位移和铅垂位移。

2-11图 解：（1）求各杆的轴力

以AB杆为研究对象，其受力图如图所示。 因为AB平衡，所以

X 0，N

3

cos45o 0，N3 0

由对称性可知， CH 0，N1 N2 0.5F 0.5 20 10(kN) （2）求C点的水平位移与铅垂位移。

A点的铅垂位移：

l1

N1l10000N 1000mm

0.476mm 22

EA1210000N/mm 100mm

较全

B点的铅垂位移： l2

N2l10000N 1000mm

0.476mm 22

EA2210000N/mm 100mm

1、2、3杆的变形协（谐）调的情况如图所示。由1、2、3杆的变形协（谐）调条件，并且考虑到AB为

刚性杆，可以得到

C点的水平位移： CH AH BH l1 tan45o 0.476(mm) C点的铅垂位移： C l1 0.476(mm)

[习题2-12] 图示实心圆杆AB和AC在A点以铰相连接，在A点作用有铅垂向下的力F 35kN。已知杆AB和AC的直径分别为d1 12mm和d2 15mm，钢的弹性模量E 210GPa。试求A点在铅垂方向的位移。 解：（1）求AB、AC杆的轴力

以节点A为研究对象，其受力图如图所示。 由平衡条件得出：

X 0：N Y 0：N

AC

sin30o NABsin45o 0

NAC

AC

2NAB………………………(a)

cos30o NABcos45o 35 0

3NAC 2NAB 70………………(b)

(a) (b)联立解得：

NAB N1 18.117kN；NAC N2 25.621kN （2）由变形能原理求A点的铅垂方向的位移

2

N12l1N2l21

F A

22EA12EA22

l21N12l1N2

A ( )

FEA1EA2

式中，l1 1000/sin45 1414(mm)；l2 800/sin30 1600(mm) A1 0.25 3.14 12 113mm；A2 0.25 3.14 15 177mm

2

1181172 141425621 1600

( ) 1.366(mm) 故： A

35000210000 113210000 177

oo

2222

[习题2-13] 图示A和B两点之间原有水平方向的一根直径d 1mm的钢丝，在钢丝的中点C加一竖向荷载F。已知钢丝产生的线应变为 0.0035，其材料的弹性模量E 210GPa， 钢丝的自重不计。试求：

（1）钢丝横截面上的应力（假设钢丝经过冷拉，在断裂前可认为符合胡克定律）； （2）钢丝在C点下降的距离 ； （3）荷载F的值。 解：（1）求钢丝横截面上的应力

0.0035 735(MPa)

E 210000

较全

（2）求钢丝在C点下降的距离

Nll2000 735 7(mm)。其中，AC和BC各3.5mm。 EAE2100001000

0.996512207 cos

1003.5

1000

) 4.7867339o arccos(

1003.5

l

o

1000tan4.7867339 83.7(mm)

（3）求荷载F的值

以C结点为研究对象，由其平稀衡条件可得：

Y 0：2Nsina P 0

P 2Nsina 2 Asin

2 735 0.25 3.14 12 sin4.7870 96.239(N)

[习题2-15]水平刚性杆AB由三根BC,BD和ED支撑，如图，在杆的A端承受铅垂荷载F=20KN,三根钢杆的横截面积分别为A1=12平方毫米，A2=6平方毫米，A,3=9平方毫米，杆的弹性模量E=210Gpa，求： （1） 端点A的水平和铅垂位移。

（2） 应用功能原理求端点A的铅垂位移。 解：（1）

13

fdx F,有kl F 0

3

k 3F/l3

l

FN(x1) 3Fx2/l3dx F(x1/l)3

l

FN3cos45 0

FN1 F2 FN3sin45 F 0 F 0.45 F 0.15 0

N1

F1 60KN,F1 401KN,F1 0KN,由胡克定理，

FN1l 60 107 0.15 l1 3.879 6

EA1210 10 12 10FN2l40 107 0.15 l2 4.76

EA2210 109 12 10 6从而得， Ax l2 4.76， Ay l2 2 l1 3 20.23（ ）

（2）

V F Ay F1 l1+F2 l2 0 Ay 20.33（ ）

[习题2-17] 简单桁架及其受力如图所示，水平杆BC的长度l保持不变，斜杆AB的长度可随夹角 的变化而

改变。两杆由同一种材料制造，且材料的许用拉应力和许用压应力相等。要求两杆内的应力同时达到许用应力，且结构的总重量为最小时，试求： （1）两杆的夹角；

较全

（2）两杆横截面面积的比值。 解：（1）求轴力

取节点B为研究对象，由其平衡条件得：

Y 0

F

sin

NABsin F 0 NAB

X 0

F

cos Fcot 2-17 sin

NABcos NBC 0 NBC NABcos （2）求工作应力

AB BC

NABF

AABAABsin

NBCFcot

ABCABC

（3）求杆系的总重量

W V (AABlAB ABClBC) 。 是重力密度（简称重度，单位：kN/m）。

3

(AAB

l

ABCl) cos

1

l(AAB ABC)

cos

（4）代入题设条件求两杆的夹角 条件①：

AB

NABFF

[ ]，AAB

[ ]sin AABAABsin NBCFcot Fco t

[ ]， ABC

[ ]ABCABC

11

ABC) l(AAB ABC) cos cos

BC

条件⑵：W的总重量为最小。 W l(AAB l(

F1Fcot Fl 1cos

) ( )

[ ]sin cos [ ][ ]sin cos sin

2Fl

1 cos2

sin2

Fl 1 cos2

sin cos

从W的表达式可知，W是 角的一元函数。当W的一阶导数等于零时，W取得最小值。

较全

dW2Fl 2cos sin sin2 (1 cos2 )cos2 2

0 2 d sin2

sin22

3 cos2

cos2 2 0 2

sin22 3cos2 cos22 0 3cos2 1 ，cos2 0.3333

2 arccos( 0.3333) 109.47o， 54.74o 54o44'

（5）求两杆横截面面积的比值 AAB

FFcot

，ABC

[ ]sin [ ]

AAB

ABC

F

11[ ]sin

Fcotsin cot cos [ ]

112

，cos 33

2

因为： 3cos2 1，2cos 1

cos

1，

1

cos

所以：

AAB

3 ABC

个等边角

[习题2-18] 一桁架如图所示。各杆都由两钢组成。已知材料的许用应力

[ ] 170MPa，试选择AC和CD的角钢

解：（1）求支座反力 由对称性可知， RA RB 220kN( ) （2）求AC杆和CD杆的轴力

以A节点为研究对象，由其平 衡条件得：

RA NACcos 0 NAC

型号。

Y

2-18

RA220

366.667(kN) sin 3/5

以C节点为研究对象，由其平衡条件得：

X

0

较全

NCD NACcos 0 NCD NACcos

220

4/5 293.333(kN) 3/5

（3）由强度条件确定AC、CD杆的角钢型号 AC杆： AAC

NAC366667N22

2156.86mm 21.569cm2

[ ]170N/mm

2

选用2∟80 7（面积2 10.86 21.72cm）。 CD杆： ACD

NCD293333N

1725.488mm2 17.255cm2 2

[ ]170N/mm

2

选用2∟75 6（面积2 8.797 17.594cm）。

[习题2-19] 一结构受力如图所示，杆件AB、CD、EF、GH都由两根不等边角钢组成。已知材料的许用应力

[ ] 170MPa，材料的弹性模量E 210GPa，

EG可视为刚性的。试选择各杆的角钢型号，并分别A处的铅垂位移 D、 C、 A。 解：（1）求各杆的轴力 NAB NCD

杆AC及求点D、C、

3.2

300 240(kN) 40.8 300 60(kN) 4

F

M

0

2-19

NGH 3 300 1.5 60 1.2 0

1

NGH (450 72) 174(kN)

3

Y 0

NEF 174 60 300 0

NEF 186(kN)

（2）由强度条件确定AC、CD杆的角钢型号 AB杆： AAB

NAB240000N22

1411.765mm 14.12cm2

[ ]170N/mm

2

选用2∟90 56 5（面积2 7.212 14.424cm）。 CD杆：

较全

ACD

NCD60000N22

352.941mm 3.529cm2

[ ]170N/mm

2

选用2∟40 25 3（面积2 1.89 3.78cm）。

EF杆：

AEF

NEF186000N22

1094.118mm 10.412cm2

[ ]170N/mm

2

cm） 选用2∟70 45 5（面积2 5.609 11.218。

GH杆： AGH

NGH174000N

1023.529mm2 10.353cm2 2

[ ]170N/mm

2

cm） 选用2∟70 45 5（面积2 5.609 11.218。

（3）求点D、C、A处的铅垂位移 D、 C、 A lAB

NABlAB240000 3400

2.694 2.7(mm)

EAAB210000 1442.4NCDlCD60000 1200

0.907(mm)

EACD210000 378NEFlEF186000 2000

1.580(mm)

EAEF210000 1121.8NGHlGH174000 2000

1.477(mm)

EAGH210000 1121.8

lCD

lEF

lGH

EG杆的变形协调图如图所示。

D lGH1.8

lEF lGH3

D 1.4771.8

1.580 1.4773

D 1.54(mm)

C D lCD 1.54 0.907 2.45(mm) A lAB 2.7(mm)

[习题2-21] （1）刚性梁AB用两根钢杆AC、BD悬挂着，其受力如图所示。已知钢杆AC和BD的直径分别为

d1 25mm和d2 18mm，钢的许用应力[ ] 170MPa，弹性模量E 210GPa。试校核钢杆的强度，并计

较全

算钢杆的变形 lAC、 lBD及A、B两点的竖向位移 A、 B。 解：（1）校核钢杆的强度

① 求轴力

NAC

NBC

3

100 66.667(kN) 4.51.5 100 33.333(kN) 4.5

② 计算工作应力

AC

NAC66667N

AAC0.25 3.14 252mm2

135.882MPa

BD

NBD33333N

2-21 22

ABD0.25 3.14 18mm

131.057MPa

③ 因为以上二杆的工作应力均未超过许用应力170MPa，即 AC [ ]； BD [ ]，所以AC及BD

杆的强度足够，不会发生破坏。

（2）计算 lAC、 lBD lAC

NAClAC66667 2500

1.618(mm)

EAAC210000 490.625NBDlBD33333 2500

1.560(mm)

EABD210000 254.34

lBD

（3）计算A、B两点的竖向位移 A、 B

第三章 扭转

3-1 一传动轴作匀速转动，转速

，轴上装有五个轮子，主动轮Ⅱ输入的功率为60kW，

从动轮，Ⅰ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ依次输出18kW，12kW,22kW和8kW。试作轴的扭矩图。

解：

kN

kN

kN

较全

kN

3-2 实心圆轴的直径

量

。试求：

mm，长

m，其两端所受外力偶矩

，材料的切变模

（1）最大切应力及两端截面间的相对扭转角；

（2）图示截面上A，B，C三点处切应力的数值及方向； （3）C点处的切应变。

max

MT

e。 WpWp

11

d3 3.14159 1003 196349(mm3)。 3-2 1616

式中，Wp 故： max

Me14 106N mm 71.302MPa 3Wp196349mm

11T l

3.14159 1004 9817469(mm4)。故：

，式中，Ip d4

3232GIp

较全

T l14000N m 1m

0.0178254(rad) 1.02o 92 124

GIp80 10N/m 9817469 10m

（2）求图示截面上A、B、C三点处切应力的数值及方向

A B max 71.302MPa， 由横截面上切应力分布规律可知：

C B 0.5 71.302 35.66MPa， A、B、C三点的切应力方向如图所示。

（3）计算C点处的切应变 C

12

C

G

35.66MPa 4 3

4.4575 10 0.446 10 3

80 10MPa

[习题3-3] 空心钢轴的外径D 100mm，内径d 50mm。已知间距为l 2.7m的两横截面的相对扭转角

1.8o，材料的切变模量G 80GPa。试求：

（1）轴内的最大切应力；

（2）当轴以n 80r/min的速度旋转时，轴所传递的功率。 解；（1）计算轴内的最大切应力

11

D4(1 4) 3.14159 1004 (1 0.54) 9203877(mm4)。 323211

Wp D3(1 4) 3.14159 1003 (1 0.54) 184078(mm3)

1616式中， d/D。 Ip

T l

， GIp

T

GIp

l

1.8 3.14159/180 80000N/mm2 9203877mm4

2700mm

8563014.45N mm 8.563(kN m)

max

T8563014.45N mm 46.518MPa 3Wp184078mm

（2）当轴以n 80r/min的速度旋转时，轴所传递的功率 T Me 9.549

NkN

9.549 k 8.563(kN m) n80

Nk 8.563 80/9.549 71.74(kW)

[习题3-5] 图示绞车由两人同时操作，若每人在手柄上沿着旋转的切向作用力F均为0.2kN，已知轴材料的许用切应力[ ] 40MPa，试求：

（1）AB轴的直径；

（2）绞车所能吊起的最大重量。 解：（1）计算AB轴的直径

AB轴上带一个主动轮。两个手柄所施加的外力偶 矩相等：

较全

Me左 Me右 0.2 0.4 0.08(kN m) Me主动轮 2Me右 0.16(kN m)

扭矩图如图所示。 3-5 由AB轴的强度条件得： max

Me右16Me右

[ ] 3

Wp d

16Me右16 80000N mmd 21.7mm 2

[ ]3.14159 40N/mm

（2）计算绞车所能吊起的最大重量

主动轮与从动轮之间的啮合力相等：

Me主动轮

0.2

Me从动轮0.35

，Me从动轮

0.35

0.16 0.28(kN m) 0.20

由卷扬机转筒的平衡条件得：

P 0.25 Me从动轮，P 0.25 0.28P 0.28/0.25 1.12(kN)

[习题3-6] 已知钻探机钻杆（参看题3-2图）的外径D 60mm，内径d 50mm，功率P 7.355kW，转速

n 180r/min，钻杆入土深度l 40m，钻杆材料的G 80GMPa，许用切应力[ ] 40MPa。假设土壤对

钻杆的阻力是沿长度均匀分布的，试求：

（1）单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度m；

（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核； （3）两端截面的相对扭转角。 解：（1）求单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度m

Me 9.549

Nk7.355

9.549 0.390(kN m) n180

设钻杆轴为x轴，则：

M

x

0，ml Me，

m

Me0.390

0.00975(kN/m) l40

（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核

①作钻杆扭矩图

T(x) mx

0.39

x 0.00975x。x [0,40] 40

T(0) 0； T(40) Me 0.390(kN m)

扭矩图如图所示。 ②强度校核， max 式中，Wp

Me

Wp

1150

D3(1 4) 3.14159 603 [1 ()4] 21958(mm3) 161660