XXX大学 2007-2008学年 第1学期 期末考试试卷答案

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座号

二、

选择题 (每题 5 分，共 40 分)

座号

1.已知 A, B 是 n 阶方阵，则下列结论中正确的是( C ) (A) AB 0 A 0 且 B 0 (C) AB 0 A 0 或 B 0 (B) A 0 A 0 (D) A I A 1

授课教师 授课教师

- - - - - -- ----装- - - - - -- ----订- - - - - -- ----线- - - - - ------ - - ---------------------------装----装----------------------订----订----------------------线----线---------------------------

a b b 2.设 A b a b ,若 A 的伴随矩阵的秩等于 1,则必有( C). b b a (A) a b 或 a 2b 0 (C) a b 或 a 2b 0 (B) a b 或 a 2b 0 (D) a b 或 a 2b 0

姓名

3. 设 三 阶 方 阵 A, B 满 足 A2 B A B E , 其 中 E 为 三 阶 单 位 矩 阵

1 0 1 A 0 2 0 ,则 B ( 2 0 1 (A)

姓名

A ).

1 2

(B) 22

(C)

1 3).

(D) 4

学号

4. A 是 n 阶方阵,且 A 2 A, 则未必有( A (A) A 可逆， 5.设

(B) A E 可逆 (C) A E

可逆

(D) A 3E 可逆 D ).

学号

A 是 m n 矩阵， B 是 n m 矩阵，则线性方程组 ( AB) X 0 (

(A)当 (C)当

n m 时，仅有零解 m n 时，仅有零解

(B)当 n m 时，必有非零

解 (D)当 m n 时，必有非零解

优选专业年级 XXX 优选专业年级 XXX XXXX XXXX

6.若向量组 , , 线性无关； , , 线性相关，则( C ) (A) 必可由 , , 线性表示 (C) 必可由 , , 线性表示 (B) 必不可由 , , 线性表示 (D) 必不可由 , , 线性表示

7. 是 n 阶可逆矩阵 A 的一个特征值，则 A 的伴随矩阵 A* 的特征值之一是( B ) (A) 8. 1

A

n

(B)

1

A2

(C) A

(D) A2

n

二次型 f ( x1 , x 2 , x3 ) x1 6 x1 x2 4 x1 x3 x 2 2 x 2 x3 tx3 ,2

若其对称矩阵的秩为 2,则 t 值应为( B ) (A) 0 (B)

7 8 (C) 8 7

(D) 1.

三、若 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 5 , 5 1 线性无关，则 1 , 2 , 3 , 4 , 5 线性无关. (10 分) 证 ： 反 证 法 假 设 1 , 2 , 3 , 4 , 5 线 性 相 关 ， 存 在 不 全 为 零 的 数

k1 , k 2 , k 3 , k 4 , k 5 使得 k1 1 k 2 2 k 3 3 k 4 4 k 5 5 0 成立不妨设 k1 0 所以 1 可由 2 , 3 , 4 , 5 线性表示， 从而 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 5 , 5 1 可由 2 , 3 , 4 , 5 线性表示，且 5 4 ,所以 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 5 , 5 1 线性相关与条件矛盾，因此， 1 , 2 , 3 , 4 , 5 线性无关

1 2 2 四、设 A 2 2 4 求正交阵 T ,使 T 1 AT 为对角阵.(10 分) 2 4 2

解： I A ( 2) 2 ( 7) ,得 1 2 2, 3 7.

1 2 2, 所对应的特征向量 X 1 (2, 1,0) T , X 2 (2,0,1) T1 用施密特正交化法得 1 X 1 , 2 (2,4,5) T 在单位化得 5

2 5 4 5 5 2 5 5 T . Y1 ( , ,0) , Y2 15 , 15 , 3 5 5 1 2 2 3 7. 的特征向量是 X 3 (1,2, 2) T ,单位化得 Y3 ( , , ) T 3 3 3

T

取正交阵 2 5 5 5 T (Y1 , Y2 , Y3 ) 5 0 2 5 15 4 5 15 5 3 1 3 2 1 则 T AT diag(2,2, 7) . 3 2 3

T 2 2 2 五、 分) (10 设二次型 f ( x1 , x 2 , x3 ) X AX ax1 2 x2 2bx1 x3 2 x3 , (b 0) ,

其中 A 的特征值之和为 1,特征值之积为-12. (1)求 a, b 的值； (2)利用正交变法将二次型 f 化为标准型，并写出正交矩阵.

a 0 b 解： (1) A 0 2 0 设 A 的特征值为 i (i 1,2,3) ,有 b 0 2

1 2 3 a 2 ( 2) 1, 1 2 3 A 4a 2b 2 12得 a 1, b 2 所以， A

I ( 2) ( 3)2

从而， 1 2 2, 3 3 .

1 2 2, 所对应的特征向量有 X 1 (2,0,1) T , X 2 (0,1,0) T 3 3 所对应的特征向量 X 3 (1,0, 2) T

因为， X 1 , X 2 , X 3 俩俩正交，单位化得 Y1 (

2 5

,0,

1 5

) T , Y2 (0,1,0) T ,

Y3 (

1 5

,0,

2 5

)T

因此， Q (Y1 , Y2 , Y3 ) 2

2 5 0 1 5

1 5 1 0 。 2 0 5 02 2

二次型的标准型为 f 2 y1 2 y 2 3 y 3

x1 x 2 x3 0 六、 分)设线性方程组 x1 2 x 2 ax3 0 与 x1 2 x2 x3 a 1 有公共解， (10 2 x1 4 x 2 a x3 0求 a 的值及所有公共解.

x1 x 2 x3 0 x 2 x ax 0 1 2 3 解：因为求方程组和方程的公共解，联立方程组 的解 2 x1 4 x 2 a x3 0 x 2x x a 1 2 3 1 1 1 有增广矩阵 ( A, b) 1 1 1 2 2 1 a 1 0 1 0 0 0 0 a 1 0 1 0 a 1 B 0 a 1 1 a 0 0 (a 1)( a 2) 0 1 1 a

4 a2

当 (a 1)( a 2) 0 时，即 a 1或 a 2 .

1 0 当 a 1时 B 0 0 当a 2时

0 1 0 1 0 0 T ,因此有公共解为 X k ( 1,0,1) ,可为任意常数 0 0 0 0 0 0

1 0B

0 0 0

101 T

X k(0,1, 1)，有公共解为。 01 1

000

00