天全中学高三8月月考数学试题（理科）

注意：必须将试题的答案写在答题卷上，否则不给分！

一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．计算 A．1﹣i

（i为虚数单位）等于（ ）

B．﹣1﹣i

C．﹣1+i

D． 1+i ，则||=（ ）

2．若平面向量=（1，2），=（﹣2，y

）且，则

A．

B．

C． 2 D． 5

3．设a，b为实数，命题甲：a＜b＜0，命题乙： ab＞b2，则命题甲是命题乙的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其主视图 如图所示，该四棱锥侧面积等于（ ） A． 20 B．

5 C． 4（+1） D． 4

5．已知函数f（x）

=x2+cosx，f′（x）是函数f（x）的导函数，则f′（x）的图象大致是（ ） A． B． C． D．

6．阅读程序框图，如果输出i=5，那么在空白矩形框中填入的语句为（ ） A． S=2*i+4 B． S=2*i﹣1 C． S=2*i﹣2 D． S=2*i 7．（x2+2）（

﹣1）5的展开式的常数项是（ ）

A． 2 B． 3 C．﹣2 D．﹣3

8．某班5名学生负责校内3个不同地段的卫生工作， 每个地段至少有1名学生的分配方案共有（ ） A． 60种 B． 90种 C． 150种 D． 240种 9．把函数y=cos

（

﹣2x）的图象向右平移

，得到函

数f（x）的图象，则函数f（x）为（ ） A．周期为π的奇函数 B．周期为π的偶函数 C．周期为2π的奇函数 D．周期为2π的偶函数 10．设点P在曲线y=x2上，点Q在直线y=2x﹣2上， 则PQ的最小值为（ ）

A．

﹣

B

． C． D．

11．过双曲线

=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0）作圆x2+y2=

的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若E为线段PF的中点，则双曲线的离心率等于（ ） A．

B．

C．

D．

12．若存在x0∈N+，n∈N+，使f（x0）+f（x0+1）+…+f（x0+n）=63成立，则称（x0，n）为函数f（x）的一个“生成点”．已知函数f（x）=2x+1，x∈N的“生成点”坐标满足二次函数g（x）=ax2+bx+c，则使函数y=g（x）与x轴无交点的a的取值范围是（ ） A． 0＜α＜ C．α＜

B．

＜α＜

或α＞

D． 0＜α＜

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分 13．已知幂函数y=f（x）的图象过点

，则log2f（2）=_____________．

14．已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离分别为a海里和2a海里，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A和B的距离为_____________海里． 15．设O为坐标原点，点

，若M（x，y）满足不等式组

，则

的最小值是_____________．

16．已知数列{an}满足a1=a，an+1=1+

，若对任意的自然数n≥4，恒有＜an＜2，

则a的取值范围为_____________．

三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知集合A={x|x2﹣5x+4≤0}，集合B={x|2x2﹣9x+k≤0}． （Ⅰ）求集合A； （Ⅱ）若B A，求实数k的取值范围．

18．（12分）函数f（x）=cos（πx+φ）（0＜φ＜（Ⅰ）写出φ及图中x0的值；

）的部分图象如图所示．

（Ⅱ）设g（x）=f（x）+f（x+），求函数g（x）在区间上的最大值

和最小值． 19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC=2，

BD=2，E是PB上任意一点． （Ⅰ）求证：AC⊥DE；

（Ⅱ）已知二面角A﹣PB﹣D

的余弦值为面PAB所成角的正弦值．

20．（12分）已知定义x∈在偶函数f（x）满足：当x∈时，f（x）=x+2函数g（x）=ax+5﹣2a（a＞0）， （1）求函数f（x）在x∈上的解析式：

（2）若对于任意x1，x2∈，都有g（x2）＞f（x1）成立，求实数a的取值范围．

21.（12分）现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下： （1）投资股市：

投资结果 获利40% 不赔不赚 亏损20%

，

，若E为PB的中点，求EC与平

概 率

不赔不赚

亏损10% q

（2）购买基金：

投资结果 获利20% 概 率

（Ⅰ）当

p

时，求q的值；

（Ⅱ）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求p的取值范围；

（Ⅲ）丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知

，

，那么丙选择哪种投资方案，才能使得

一年后投资收益的数学期望较大？给出结果并说明理由． 22．（12分）已知函数f（x）=x+xlnx，h（x）=x﹣lnx﹣2 （Ⅰ）试判断方程h（x）=0在区间（1，+∞）上根的情况

（Ⅱ）若k∈Z，且f（x）＞kx﹣k对任意x＞1恒成立，求k的最大值 （Ⅲ）记a1+a2+…+an=

，若ai=2ln2+3ln3+…+klnk（k＞3，k∈N*），证

明

＜1（n＞k，n∈N*）

天全中学高三8月月考数学参考答案（理科）

一、选择题：CBADA DBCAD CB 二、填空题：

13． 14．

a 15． 16．（0，+∞）

三、解答题（本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．解：（1）∵x﹣5x+4≤0，∴1≤x≤4，∴A=；（3分） （2）当B= 时，△=81﹣8k＜0，求得k＞

22

．（6分）

∴当B≠ 时，有2x﹣9x+k=0的两根均在内，

设f（x）=2x﹣9x+k，则

2

解得7≤k≤．（9分）

综上，k的范围为，则﹣x∈，结合函数（fx）是上的偶函数，所以（fx）=f（﹣x）=﹣x+所以

．

，

（2）对任意的x1，x2∈，都有g（x2）＞f（x1）成立，则只需g（x）min≥f（x）max，又因

为y=f（x），x∈是偶函数，所以f（x）的值域就是f（x）在值域． 而当x∈时，f（x）=x+2

2

，令t=

2

，

原函数化为y=﹣t+2t+2=﹣（t﹣1）+3，t∈，显然t=1时f（x）max=3， 又因为g（x）min=﹣3a+5，则由题意得

，解得

即为所求．

21.（Ⅰ）解：因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，所以p++q=1．又因为

，所以q=

． …（3分）

（Ⅱ）解：记事件A为“甲投资股市且盈利”，事件B为“乙购买基金且盈利”，事 件C为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”，则由上表可知，所以=

因为又因为

=，所以

，q≥0，所以

． ． ．

，P（B）=p．

，且A，B独立．