2018届高三数学一轮复习： 第10章 第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

第十章计数原理、概率、随机变量及

其分布

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综合近5年全国卷高考试题，我们发现高考命题在本章呈现以下规律：

1．从考查题型看：一般有1～2个客观题，1个解答题；从考查分值看，占10～22分，基础题主要考查对基础知识和基本方法的应用意识，中档题主要考查转化与化归思想及运算求解能力．

2．从考查知识点看：主要考查计数原理、排列与组合、二项式定理、随机事件的概率、古典概型与几何概型、离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的均值与方差．

3．从命题思路上看：

1

(1)计数原理、排列组合与古典概型相结合考查．

(2)几何概型与线性规划、定积分等知识相结合考查．

(3)随机事件的概率、离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的均值与方差和统计知识交汇考查．

(4)相互独立事件、二项分布、超几何分布、正态分布、实际问题等其他知识交汇考查．

[导学心语]

1．全面系统复习，深刻理解知识本质

(1)重视计数原理、二项式定理的理解，深刻把握排列组合、随机事件、古典概型、几何概型、离散型随机变量及其分布列、条件概率、二项分布、离散型随机变量的均值与方差、正态分布等概念，研究事件的概率，注意该事件的特征，用适当的概率模型求解．

(2)注意各类概率公式和概率模型的理解和应用，掌握其适用条件和用法．

2．抓住重点、针对训练

通过对近5年全国卷高考试题分析，可以预测，在2017年，本章问题考查的重点是：

(1)计数原理、二项式定理、古典概型、几何概型．

(2)离散型随机变量及其分布列、期望与方差．做针对性训练，通过小题强化概率各种题型的计算，通过解答题训练巩固离散型随机变量及分布列问题．3．重视转化与化归思想的应用

研究计数原理、概率、随机变量及其分布列问题，转化与化归思想贯穿始终，首先需要将实际问题转化为相应的计数问题、排列组合问题、概率计算问题、离散型随机变量的分布列与均值、方差等的计算问题，其次将概率的计算转化为计数问题、长度或面积的计算问题，将求分布列问题转化为概率的计算问题，将复杂事件的概率计算转化为简单事件的概率计算．

2

第一节分类加法计数原理与分步乘法

计数原理

[考纲传真] 1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题．

1．分类加法计数原理

完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．2．分步乘法计数原理

完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．()

(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．()

(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．()

(4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事．()

[答案](1)×(2)√(3)√(4)×

2．(教材改编)从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数有()

A．30 B.20

C.10

D.6

D[从0,1,2,3,4,5六个数字中，任取两数和为偶数可分为两类：①取出的两

3

4 数都是偶数，共有3种方法；②取出的两数都是奇数，共有3种方法，故由分类加法计数原理得共有N ＝3＋3＝6种．]

3．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a ，b 组成复数a ＋b i ，其中虚数有( )

A ．30个

B.42个

C.36个

D.35个

C [∵a ＋b i 为虚数，∴b ≠0，即b 有6种取法，a 有6种取法，

由分步乘法计数原理知可以组成6×6＝36个虚数．]

4．(2016·全国卷Ⅱ)如图10-1-1，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(

)

图10-1-1

A ．24

B.18

C.12

D.9

B [分两步，第一步，从E →F ，有6条可以选择的最短路径；第二步，从F →G ，有3条可以选择的最短路径．由分步乘法计数原理可知有6×3＝18条可以选择的最短路程．]

5.现有4种不同的颜色要对如图10-1-2所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有________种．

图10-1-2

48 [按A →B →C →D 顺序分四步涂色，共4×3×2×2＝48种不同的着色方法．]