6.3 分式线性映射

§6.3 分式线性映射 第 六 章 共 形 映 射

§6.3 分式线性映射一、分式线性映射的一般形式

二、分式线性映射的分解三、保形性

四、保圆性五、保对称点性 六、唯一决定分式线性映射的条件 七、两个典型区域间的映射

§6.3 分式线性映射 第 一、分式线性映射的一般形式 六 章 定义 由分式线性函数 共 形 映 射

a b az b w ( a , b , c , d 为复数且 ) c d cz d构成的映射，称为分式线性映射； 特别地，若 c 0 , 则称为(整式)线性映射。 注 (1) 两个分式线性映射的复合，仍是一个分式线性映射； (2) 分式线性映射的逆映射也是一个分式线性映射：

§6.3 分式线性映射 第 二、分式线性映射的分解 六 az b 章 分析 分式线性函数 w 可改写为： cz d 共 (1) 当 c 0 时， 形 1 a c z bc 映 1 a (c z d ) ad bc w 射 c cz d c cz d

a bc a d 1 ; c c cz d

(2) 当 c 0 时，

az b a b w (z ) . d d a3

§6.3 分式线性映射 第 二、分式线性映射的分解 六 章 分析 因此，一个一般形式的分式线性映射可以由下面四种 共 形 映 射 最简单的分式线性映射复合而成。 (1) w z b , ( b 为复数 ); i 0 (2) w e z , ( 0 为实数 ); 复合成(整式)线性映射。 (3) w r z , ( r 为正数 ); 复合成分式线性映射。 (4) w 1 . z 在后面的讨论中，有时会根据需要，只对(整式)线性映射 和第(4) 种映射分别进行讨论。 4

§6.3 分式线性映射 第 二、分式线性映射的分解 六 下面分别对四种映射进行讨论。为了比较映射前后的变化， 章

将 w 平面与 z 平面放在同一个平面上。 共 形 1. 平移映射 映 射 w z b , ( b 为复数 )令 w u iv , z x i y ,

b b1 i b2 ,则有 u x b1 , v y b2 . 它将点集(点、 曲线 、 区域等)沿着 向量 b 的方向平移一段距离 | b | . 5

§6.3 分式线性映射 第 二、分式线性映射的分解 六 章 2. 旋转映射 共 形 映 射

w e

i 0

z , ( 0 为实数 )i ( 0 )

i 令 z | z |e ,

则有 w | z | e

.

它将点集(点、 曲线 、 区域等)旋转一个角度 0 . 当 0 0 时，沿逆时针旋转； 当 0 0 时，沿顺时针旋转。 6

§6.3 分式线性映射 第 二、分式线性映射的分解 六 章 3. 相似映射 共 形 映 射

w r z , ( r 为正数 )i i 令 z | z | e , 则有 w r | z | e .

其特点是保持点的辐角不变， 但模扩大(或缩小)r 倍。 它将曲线或者区域相似地扩大(或缩小)r 倍。 特别适合于过原点(或含原点)的曲线或区域。

§6.3 分式线性映射 第 二、分式线性映射的分解 六 章 4. 反演(或

倒数)映射 w 1 z 共 形 映 射i 1 e i ( ) . 令 z | z | e , 则有 w |z|

它将单位圆内(或外)的点映射到 单位圆外(或内),且辐角反号。

如图，反演(或倒数)映射通常还可以分为两步来完成：

1 , arg w arg z ; z 映射为 w1 , 满足 | w1 | (1) 将 1 |z|(2) 将 w1 映射为 w , 满足 | w | | w1 | , arg w arg w1 . 8

§6.3 分式线性映射 第 二、分式线性映射的分解 六 章 5. 两个特殊的对称映射 圆周对称的概念 共 形 定义 设某圆周 C 的半径为 R, 映 射 P145 A, B 两点位于从圆心 O 定义6.3

T R O A B

出发的射线上(如图), 且

OA OB R 2 , 则称 A 和B 是关于圆周 C 对称的。

C

自然地，规定圆心 O 与无穷远点 关于该圆周对称。 9

§6.3 分式线性映射 第 二、分式线性映射的分解 六 章 5. 两个特殊的对称映射

w 1 共 (1) 关于单位圆周的对称映射 z 形 i 1 i 映 令 z | z | e , 则有 w | z | e . 射 | w | 1 , arg w arg z ; 即 |z|(2) 关于实轴的对称映射 w zi i ( ) . 令 z | z | e , 则有 w | z | e

z w

z

即 | w | | z | , arg w arg z .

z

§6.3 分式线性映射 第 二、分式线性映射的分解 六 章 5. 两个特殊的对称映射

w 1 共 (1) 关于单位圆周的对称映射 z 形 映 (2) 关于实轴的对称映射 w z 射 注意 上述两个映射并不是解析的，因此它们不能单独地作为共形映射来使用。其主要作用是为了能更好地看清倒数 映射的变化过程。z

1 ; z 1, 即 w z w .

w

§6.3 分式线性映射 第 六 章P43 例6.5

i 2z 2i 2 z 2i 2i 2 1 . 2 2e 2 解 w z i z i z i z i 共 π 1 形 i e 2 z2 2z 3 z1 z4 2 z i 映 z z1 z4 w z3 z2 射 平移 倒数 旋转 相似 平移

π

比如 (1) z 0 w 0 ; (2) z i w 1;i 2 1 i 1

2i i

i2

1

§6.3 分式线性映射 第 三、保形性 六 为了在整个扩充复平面上进行讨论，首先要对无穷远点进行 章 某些技术处理和补充说明。 其思想已在§5.2 节中介绍过。 共 形 思想 令 1 , 即 z 1 , 则点 z 对应于点 0 . z 映 (回顾) 射 1 记为 ( ) , (1) 对于函数 f (z ) , 则有 f ( z ) f

因此， 函数 f (z )在无穷远点 z 的性态可由函数 ( ) 在原点 0 的性态来刻画。 比如 若函数 ( ) 在原点 0 解析，

f 则“认为”函数(z )

z 在无穷远点

也解析。13

§6.3 分式线性映射 第 三、保形性 六 为了在整个扩充复平面上进行讨论，首先要对无穷远点进行 章 某些技术处理和补充说明。 其思想已在§5.2 节中介绍过。 共 形 思想 令 1 , 即 z 1 ,

则点 z 对应于点 0 . z 映 (回顾) 射 (2) …… 此处隐藏：1256字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……