2006

2006年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试卷评分标准

一. 选择题

1. C

2. C

3. D

4. B

5. C

6. B

二. 填空题 7. 936- 8. n 9. 4010

3 10. 100322)(1b a + 11. 3± 12. 3

详细解答如下：

一. 选择题

1.下列三数124log ,82log ,2

32716的大小关系正确的是（ C ） （A ）124log 82log 232716<< （B ）82log 124log 2

31627<< （C ）82log 23124log 1627<< （D ）2

382log 124log 1627<< 解： 因为 3log 3log 81log 82log 24216164==>，

5log 5log 125log 124log 33327273==<。

令3log 2=x ，则32=x 。又因为x 238223=<=，所以 23>x 。 再令5log 3=y ，则53=y ，而y 3527323

=>=，所以 2

3<y 。 综上所述，有 82log 2

3124log 1627<<。 因此 选 （C ）。 2. 已知两点A (1,2), B (3,1) 到直线L 的距离分别是25,2-，则满足条件的直线L 共有（ C ）条。

（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4

解: 由,5=AB 分别以A ，B 为圆心，2，5为半径作两个圆，则两圆外切，有三条共切线。正确答案为C 。

3. 设)(n f 为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如

14321)123(222=++=f 。记)()(1n f n f =，))(()(1n f f n f k k =+，，⋯=,3,2,1k 则)2006(2006f ＝（ D ）

(A) 20 (B) 4 (C) 42 (D) 145.

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word 解： 将40)2006(=f 记做402006→，于是有

→→→→→→→→→→→164204214589583716402006

从16开始，n f 是周期为8的周期数列。故

.145)16()16()16()2006(48250420042006====⨯+f f f f 正确答案为D 。

4. 设在xOy 平面上，20x y ≤<，10≤≤x 所围成图形的面积为3

1，则集合 },1),{(≤-=x y y x M }1),{(2+≥=x y y x N 的交集N M 所表示的图形面积为（ B ）。 (A) 31 (B) 3

2 (C) 1 (B) 34. 解： N M 在xOy 平面上的图形关于x 轴与y 轴均对称，由此N M 的图形面积只要算出在第一象限的图形面积乘以4即得。为此，只要考虑在第一象限的面积就可以

了。由题意可得，N M 的图形在第一象限的面积为A ＝6

13121=-。因此N M 的图形面积为3

2。 所以选（B ）。 5. 在正2006边形中，与所有边均不平行的对角线的条数为（ C ）。

(A) 2006 (B) 21003 (C) 100310032- (D) 100210032-.

解： 正2n 边形n A A A 221 ，对角线共有 )32()32(22

1-=-⨯⨯n n n n 条。 计算与一边21A A 平行的对角线条数，因2121//++n n A A A A ，与21A A 平行的对角线的端点只能取自2n-4个点，平行线共n-2条。故与某一边平行的对角线共n(n-2)条。由此可得与任何边都不平行的对角线共有n(2n-3)-n(n-2)=n(n-1)条。 因此正确选项是 C 。

6. 函数x x x x x x x x x x x x x x x x x f c ot s in c ot tan c ot c os c os s in tan c os c ot tan tan s in c os s in )(+++++++++++=在)2

,0(π∈x 时的最小值为（ B ）。

(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8

解： ⎪⎭

⎫ ⎝⎛+++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=x x x x x x x x x x x x x f cot sin 1tan cos 1)cot (tan cot cos 1tan sin 1)cos (sin )( （由调和平均值不等式）

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word 4

cot cos tan sin 4)cot (tan cot cos tan sin 4)cos (sin =⎪⎭

⎫ ⎝⎛+++++⎪⎭

⎫ ⎝⎛++++≥x x x x x x x x x x x x 要使上式等号成立，当且仅当

⎩⎨⎧+=++=+)

2(sin cot cos tan )1(cot cos tan sin x x x x x x x x （1）－（2）得到x x x x sin cos cos sin -=-，即得x x cos sin =。因为)2,0(π∈x ， 所以当4

π=x 时，4)4()(==π

f x f 。所以.4)(min =x f 因此应选（B ）。 二. 填空题

7. 手表的表面在一平面上。整点1，2，…，12这12个数字等间隔地分布在半径为22

的圆周上。从整点i 到整点（i ＋1）的向量记作1+i i t t ，则2111243323221t t t t t t t t t t t t ⋅++⋅+⋅ ＝ 936- 。

解：连接相邻刻度的线段构成半径为2

2的圆内接正12边形。相邻两个边向量的夹角即为正12边形外角，为30度。各边向量的长为12sin 222π⋅⋅ 4322-=。 则3221t t t t ⋅6cos 43222π⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=234322-=。共有12个相等项。所以求得数量积之和为 936-。

8. 设,,,),,2,1(R n i R a i ∈=∈+γβα 且，0=++γβα 则对任意R x ∈，

=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛++++++++∑=+++n i x i x i x i x i x i x i a a a a a a 1)( )()(111111γαγγβββαα n 。 解：x i

x i x i x i x i x i a a a a a a )( )()(111111γαγγβββαα+++++++++++ 11111)( )()()(=++++++++=++++x i

x i x i x i x i x i x i x i a a a a a a a a γαγγαγαγγαγγ，

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word 所以，.1111111)( )()(n a a a a a a n i x i x i x i x i x i x i =⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛++++++++∑=+++γαγγβββαα 9 在2006,,2,1 中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是

40103 。 解： 三个数成递增等差数列，设为 d a d a a 2,,++，按题意必须满足,20062≤+d a 1002≤d 。 对于给定的d ，a 可以取1，2，……，2006-2d 。

故三数成递增等差数列的个数为 .1002*1003)22006(1002

1

=-∑=d d

三数成递增等差数列的概率为 401031002100332006

=⨯C 。 10. 设b a ,是非零实数，R x ∈，若，2224241cos sin b a b x a x +=+则=+2006

200820062008cos sin b x a x 100322)

(1b a +。 解： 已知 ，2

224241c o s s i n b a b x a x +=+ ……………… （1） 将（1）改写成 x b a x a b x x 422

4224

4c o s s i n c o s s i n 1+++=。 而 x x x x x x 2244222cos sin 2cos sin )cos (sin 1++=+=。

所以有 0c o s c o s s i n 2s i n 422

22422=+-x b

a x x x a

b 。 即0cos sin 22

2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x b a x a

b , 也即 ，4444cos sin b x a x = 将该值记为C 。则由（1）知， 22221b

a C

b C a +=+。于是有，222)(1b a C +=. 而10032210042222502250222006200820062008)

(1)(1)(cos sin b a b a b a C b C a b x a x +=++=+=+。 11. 已知 {}R y x y x y x A ∈=-++-+=ααα,0)1)(sin 1(2cos 2),(22, {}R k kx y y x B ∈+==,3),(。若B A ⋂为单元素集，则3±=k 。

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word 解 由

1)1(sin 1,cos 0

)sin 1()cos (0)1)(sin 1(2cos 2222222=-+⇒+==⇒=--+-⇒=-++-+y x y x y x y x y x αααααα

B A ⋂为单元素集，即直线3+=kx y 与1)1(22=-+y x 相切，则3±=k . 12. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+++∈3232,,,1,1,1min max c b a c b a R c b a

解：设⎭

⎬⎫⎩⎨⎧++=3232,1,1,1min c b a c b a t ，则 a t 10≤<，210b t ≤<,310c t ≤<，即有 t

a 1≤，t

b 12≤，t

c 13≤。所以有 t c b a t 332≤++≤. 于是可得 3≤t ，且当3332=

==c b a 时，3=t . 因此 3,1,1,1min max 3232,,=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+++∈c b a c b a R c b a .

解答题

13. 在x 轴同侧的两个圆：动圆1C 和圆024*******=+--+b ay abx y a x a 外切（0,,≠∈a N b a ），且动圆1C 与x 轴相切，求

（1）动圆1C 的圆心轨迹方程L;

（2）若直线069584)17(422=-++--a a b ay abx 与曲线L 有且仅有一个公共点，求b a ,之值。

解：（1）由024*******=+--+b ay abx y a x a 可得,)41()41()2(222a a y a b x =-+- 由∈b a ,N ，以及两圆在x 轴同侧，可知动圆圆心在x 轴上方，设动圆圆心坐标为),(y x , 则有

,41)41()2(22a

y a y a b x +=-+- 整理得到动圆圆心轨迹方程

a b bx ax y 422

+-= )2(a b x ≠。 ……………………（5分）

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word 另解 由已知可得，动圆圆心的轨迹是以)41,2(

a a

b 为焦点，a y 41-=为准线，且顶点在)0,2(a

b 点（不包含该点）的抛物线，得轨迹方程 y a

a b x 1)2(2=-，即)2(422a b x a b bx ax y ≠+-=…………………（5分）

（2）联立方程组)2(422

a b x a b bx ax y ≠+-= ① 069584)17(422=-++--a

a b ay abx ② 消去y 得 0)6958(744222=---a

a abx x a ， 由=∆,0)6958(167162222=-+⨯a a a

b a 整理得

a a

b 6958722=+ ③

从③可知 a a 772⇒。 故令17a a =，代入③可得

12

1269587a a b =+ ⇒.772b b ⇒ 再令17b b =，代入上式得

12

1219947a a b =+ …………………（10分） 同理可得，117,7b a 。可令,49,49m b n a ==代入③可得

n n m 142722=+ ④

对④进行配方，得 ,717)71(222=+-m n

对此式进行奇偶分析，可知n m ,均为偶数，所以222)71(717--=n m 为8的倍数，所以m 4。令r m 4=，则2271112≤r 452≤⇒r 。

所以 654321,0，，，，，=r …………………………………（15分） 仅当4,0=r 时，2211271r -为完全平方数。于是解得

)(0,

6958不合，舍去==b a 7846272==b a 784

686==b a 。 …………………（20分）

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word 14.已知数列}{n a 满足n a a a n n 2,111+==+)3,2,1( =n ，}{n b 满足,11=b n b b b n n n 21+=+)3,2,1( =n ，证明： 1121111<--+≤∑=++n k k k k k k

b ka b a 。 证明：记 ∑=++--+=n k k k k k n k

b ka b a I 1111，则 n I I I <<<= 212

1。 而∑=++-=n k k k n k b a I 11))(1(1∑∑==++⋅-≤n k k n k k k b a 111111

。 ………………… （5分） 因为n a a a n n 2,111+==+，所以)1(11+=-+k k a k 。 ………………… （10分） 从而有 1111)1(111111<+-=+=-∑∑==+n k k a n

k n k k 。 （1） 又因为k

k b b k b b b k k k k k )(21+=+=+，所以k b b k b b k b k k k k k +-=+=+11)(11， 即1

111+-=+k k k b b k b 。从而有 111111111=≤-=++=∑b b b k b n n k k 。 （2） … （15分） 由（1）和（2）即得 1<n I 。 综合得到 12

1<≤n I 。 左边不等式的等号成立当且仅当 n=1时成立。 ……… （20分）

15. 六个面分别写上1，2，3，4，5，6的正方体叫做骰子。问

1） 共有多少种不同的骰子；

2） 骰子相邻两个面上数字之差的绝对值叫做这两个面之间的变差，变差的总

和叫做全变差V 。在所有的骰子中，求V 的最大值和最小值。

解：1）设台子上有一个与骰子的侧面全等的正方形。我们把一个骰子放到该正方形上的放法共6×4种。所以不同的骰子共有

304

*6!6=种。 ………………… （5分） 2） 由1－6的六个数字所能产生的变差共有15个，其总和为

1＋（1＋2）＋（1＋2＋3）＋（1＋2＋3＋4）＋（1＋2＋3+4+5）=35 （10分） 与之相比，每个骰子的全变差中，所缺的是三个相对面上数字之间的变差，记其总和为v ，则

v max ＝（6+5+4）－ (1+2+3) ＝9

v min ＝ 1+1+1 ＝ 3 ………………… （15分）

因此

V max ＝35－v min ＝32

V min ＝35－v max ＝26. ………………… （20分）