2006

2006年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试卷评分标准

一. 选择题

1. C

2. C

3. D

4. B

5. C

6. B

二. 填空题 7. 936- 8. n 9. 4010

3 10. 100322)(1b a + 11. 3± 12. 3

详细解答如下：

一. 选择题

1.下列三数124log ,82log ,2

32716的大小关系正确的是（ C ） （A ）124log 82log 232716<< （B ）82log 124log 2

31627<< （C ）82log 23124log 1627<< （D ）2

382log 124log 1627<< 解： 因为 3log 3log 81log 82log 24216164==>，

5log 5log 125log 124log 33327273==<。

令3log 2=x ，则32=x 。又因为x 238223=<=，所以 23>x 。 再令5log 3=y ，则53=y ，而y 3527323

=>=，所以 2

3<y 。 综上所述，有 82log 2

3124log 1627<<。 因此 选 （C ）。 2. 已知两点A (1,2), B (3,1) 到直线L 的距离分别是25,2-，则满足条件的直线L 共有（ C ）条。

（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4

解: 由,5=AB 分别以A ，B 为圆心，2，5为半径作两个圆，则两圆外切，有三条共切线。正确答案为C 。

3. 设)(n f 为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如

14321)123(222=++=f 。记)()(1n f n f =，))(()(1n f f n f k k =+，，⋯=,3,2,1k 则)2006(2006f ＝（ D ）

(A) 20 (B) 4 (C) 42 (D) 145.

2006

word 解： 将40)2006(=f 记做402006→，于是有

→→→→→→→→→→→164204214589583716402006

从16开始，n f 是周期为8的周期数列。故

.145)16()16()16()2006(48250420042006====⨯+f f f f 正确答案为D 。

4. 设在xOy 平面上，20x y ≤<，10≤≤x 所围成图形的面积为3

1，则集合 },1),{(≤-=x y y x M }1),{(2+≥=x y y x N 的交集N M 所表示的图形面积为（ B ）。 (A) 31 (B) 3

2 (C) 1 (B) 34. 解： N M 在xOy 平面上的图形关于x 轴与y 轴均对称，由此N M 的图形面积只要算出在第一象限的图形面积乘以4即得。为此，只要考虑在第一象限的面积就可以

了。由题意可得，N M 的图形在第一象限的面积为A ＝6

13121=-。因此N M 的图形面积为3

2。 所以选（B ）。 5. 在正2006边形中，与所有边均不平行的对角线的条数为（ C ）。

(A) 2006 (B) 21003 (C) 100310032- (D) 100210032-.

解： 正2n 边形n A A A 221 ，对角线共有 )32()32(22

1-=-⨯⨯n n n n 条。 计算与一边21A A 平行的对角线条数，因2121//++n n A A A A ，与21A A 平行的对角线的端点只能取自2n-4个点，平行线共n-2条。故与某一边平行的对角线共n(n-2)条。由此可得与任何边都不平行的对角线共有n(2n-3)-n(n-2)=n(n-1)条。 因此正确选项是 C 。

6. 函数x x x x x x x x x x x x x x x x x f c ot s in c ot tan c ot c os c os s in tan c os c ot tan tan s in c os s in )(+++++++++++=在)2

,0(π∈x 时的最小值为（ B ）。

(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8

解： ⎪⎭

⎫ ⎝⎛+++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=x x x x x x x x x x x x x f cot sin 1tan cos 1)cot (tan cot cos 1tan sin 1)cos (sin )( （由调和平均值不等式）

2006

word 4

cot cos tan sin 4)cot (tan cot cos tan sin 4)cos (sin =⎪⎭

⎫ ⎝⎛+++++⎪⎭

⎫ ⎝⎛++++≥x x x x x x x x x x x x 要使上式等号成立，当且仅当

⎩⎨⎧+=++=+)

2(sin cot cos tan )1(cot cos tan sin x x x x x x x x （1）－（2）得到x x x x sin cos cos sin -=-，即得x x cos sin =。因为)2,0(π∈x ， 所以当4

π=x 时，4)4()(==π

f x f 。所以.4)(min =x f 因此应选（B ）。 二. 填空题

7. 手表的表面在一平面上。整点1，2，…，12这12个数字等间隔地分布在半径为22

的圆周上。从整点i 到整点（i ＋1）的向量记作1+i i t t ，则2111243323221t t t t t t t t t t t t ⋅++⋅+⋅ ＝ 936- 。

解：连接相邻刻度的线段构成半径为2

2的圆内接正12边形。相邻两个边向量的夹角即为正12边形外角，为30度。各边向量的长为12sin 222π⋅⋅ 4322-=。 则3221t t t t ⋅6cos 43222π⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=234322-=。共有12个相等项。所以求得数量积之和为 936-。

8. 设,,,),,2,1(R n i R a i ∈=∈+γβα 且，0=++γβα 则对任意R x ∈，

=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛++++++++∑=+++n i x i x i x i x i x i x i a a a a a a 1)( )()(111111γαγγβββαα n 。 解：x i

x i x i x i x i x i a a a a a a )( )()(111111γαγγβββαα+++++++++++ 11111)( )()()(=++++++++=++++x i

x i x i x i x i x i x i x i a a a a a a a a γαγγαγαγγαγγ，

2006

word 所以，.1111111)( )()(n a a a a a a n i x i x i x i x i x i x i =⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛++++++++∑=+++γαγγβββαα 9 在2006,,2,1 中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是

40103 。 解： 三个数成递增等差数列，设为 d a d a a 2,,++，按题意必须满足,20062≤+d a 1002≤d 。 对于给定的d ，a 可以取1，2，……，2006-2d 。

故三数成递增等差数列的个数为 .1002*1003)22006(1002

1

=-∑=d d

三数成递增等差数列的概率为 401031002100332006

=⨯C 。 10. 设b a ,是非零实数，R x ∈，若，2224241cos sin b a b x a x +=+则=+2006

200820062008cos sin b x a x 100322)

(1b a +。 解： 已知 ，2

224241c o s s i n b a b x a x +=+ ……………… （1） 将（1）改写成 x b a x a b x x 422

4224

4c o s s i n c o s s i n 1+++=。 而 x x x x x x 2244222cos sin 2 …… 此处隐藏：4307字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……