第一章三角函数

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核心归纳

1．三角函数的概念：重点掌握以下两方面内容：（1）理解任意角的概念和弧度的意义，能正确迅速地进行弧度与角度的换算．（2）掌握任意的角α的正弦、余弦和正切的定义，能正确快速利用三角函数值在各个象限的符号解题，能求三角函数的定义域和一些简单三角函数的值域．

2．诱导公式：能用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角三角函数，利用“奇变偶不变，符号看象限”牢记所有诱导公式．

善于将同角三角函数的基本关系式和诱导公式结合起来使用，通过这些公式进行化简、求值，达到培养推理运算能力和逻辑思维能力提高的目的．

3．三角函数的图像与性质

4.(1)重点掌握“五点法”，会进行三角函数图像的变换，能从图像中获取尽可能多的信息，如周期、半个周期、四分之一个周期等，如轴对称、中心对称等，如最高点、最低点与对称中心之间位置关系等．能从三角函数的图像归纳出函数的性质．

(2)牢固掌握三角函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性和对称性．在运用三角函数性质解题时，要善于运用数形结合思想、分类讨论思想、化归转化思想将综合性较强的试题完整准确地进行解答．

要点一 任意角的三角函数的定义 有关三角函数的概念主要有以下两个方面：

(1)任意角和弧度制，理解任意角的概念，弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算． (2)任意角的三角函数，掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域． 【例1】 已知cos θ＝m ，|m |≤1，求sin θ，tan θ的值． 解 (1)当m ＝0时，θ＝2k π±π

2

，k ∈Z ；

当θ＝2k π＋π2

时，sin θ＝1，tan θ不存在； 当θ＝2k π－π2

时，sin θ＝－1，tan θ不存在． (2)当m ＝1时，θ＝2k π，k ∈Z ，sin θ＝tan θ＝0.

当m ＝－1时，θ＝2k π＋π，k ∈Z ，sin θ＝tan θ＝0.

(3)当θ在第一、二象限时，

sin θ＝1－m 2，tan θ＝1－m 2

m .

(4)当θ在第三、四象限时，

sin θ＝－1－m 2，tan θ＝－1－m 2

m .

【训练1】 已知角θ的终边经过点P (－3，m ) (m ≠0)且sin θ＝

24m ，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值． 解 由题意，得r ＝3＋m 2，

所以sin θ＝m

3＋m 2＝24m . 因为m ≠0，所以m ＝±5，故角θ是第二或第三象限角．

当m ＝5时，r ＝22，点P 的坐标为(－3，5)，角θ是第二象限角，

所以cos θ＝x r ＝－322＝－64

， tan θ＝y x ＝5－3＝－153

； 当m ＝－5时，r ＝22，点P 的坐标为(－3，－5)，角θ是第三象限角，所以cos θ＝x r ＝－322＝－64

， tan θ＝y x ＝－5－3＝153

. 要点二 诱导公式的应用

(1)对于π±α，－α，2π±α记忆为“函数名不变，符号看象限”．

(2)对于π2

±α记忆为“函数名改变，符号看象限”． 注意：

①名改变指正弦变余弦或余弦变正弦，正切与余切之间变化．

②“符号看象限”是指把α看作锐角时原函数值的符号．

③其作用是“负角变正角，大角变小角，小角变锐角”．

【例2】 (1)若θ∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2，π(注：对任意角α有sin 2α＋cos 2α＝1成立)，则1－π＋θ⎝ ⎛⎭

⎪⎫3π2－θ＝( ) A ．sin θ－cos θ B ．cos θ－sin θ

C ．±(sin θ－cos θ)

D ．sin θ＋cos θ (2)已知f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx －β)，其中α，β， a ，b 均为非零实数，若 f (2 016)＝－1，则f (2 017)等于________．

解析 (1)1－π＋θ⎝ ⎛⎭

⎪⎫3π2－θ ＝1－2sin θcos θ＝|sin θ－cos θ|，又θ∈⎝

⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴sin θ－cos θ＞0，

故原式＝sin θ－cos θ.

(2)由诱导公式知f (2 016)＝a sin α＋b cos β＝－1，

∴f (2 017)＝a sin(π＋α)＋b cos(π－β)

＝－(a sin α＋b cos β)＝1.

答案 (1)A (2)1

【训练2】 已知角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫45

，－35. (1)求sin α的值；

(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αα＋π

·α－ππ－α的值．

解 (1)∵|OP |＝1，

∴点P 在单位圆上． 由正弦函数的定义得sin α＝－35

. (2)原式＝cos α－sin α·tan α－cos α

＝sin αsin α·cos α＝1cos α

， 由余弦函数的定义得cos α＝45.故所求式子的值为54

. 要点三 三角函数的图像及变换

1．用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像时，确定五个关键点的方法是分别令ωx ＋φ

＝0，π2，π，32

π，2π. 2．对于y ＝A sin(ωx ＋φ)＋h ，应明确A 、ω决定“变形”，φ、h 决定“位变”，A 影响值域，ω影响周期，A 、ω、φ影响单调性．针对x 的变换，即变换多少个单位，向左或向右很容易出错，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别．

【例3】 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝

⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的一段图像如图．

(1)求f (x )的解析式；

(2)把f (x )的图像向左至少平移多少个单位，才能使得到的图像对应的函数为偶函数？

解 (1)A ＝3，2πω＝43⎝

⎛⎭⎪⎫4π－π4＝5π， 故ω＝25

. 由f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫25x ＋φ过⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0得sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π10＋φ＝ …… 此处隐藏：6780字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……