第一章三角函数

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核心归纳

1．三角函数的概念：重点掌握以下两方面内容：（1）理解任意角的概念和弧度的意义，能正确迅速地进行弧度与角度的换算．（2）掌握任意的角α的正弦、余弦和正切的定义，能正确快速利用三角函数值在各个象限的符号解题，能求三角函数的定义域和一些简单三角函数的值域．

2．诱导公式：能用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角三角函数，利用“奇变偶不变，符号看象限”牢记所有诱导公式．

善于将同角三角函数的基本关系式和诱导公式结合起来使用，通过这些公式进行化简、求值，达到培养推理运算能力和逻辑思维能力提高的目的．

3．三角函数的图像与性质

4.(1)重点掌握“五点法”，会进行三角函数图像的变换，能从图像中获取尽可能多的信息，如周期、半个周期、四分之一个周期等，如轴对称、中心对称等，如最高点、最低点与对称中心之间位置关系等．能从三角函数的图像归纳出函数的性质．

(2)牢固掌握三角函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性和对称性．在运用三角函数性质解题时，要善于运用数形结合思想、分类讨论思想、化归转化思想将综合性较强的试题完整准确地进行解答．

要点一 任意角的三角函数的定义 有关三角函数的概念主要有以下两个方面：

(1)任意角和弧度制，理解任意角的概念，弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算． (2)任意角的三角函数，掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域． 【例1】 已知cos θ＝m ，|m |≤1，求sin θ，tan θ的值． 解 (1)当m ＝0时，θ＝2k π±π

2

，k ∈Z ；

当θ＝2k π＋π2

时，sin θ＝1，tan θ不存在； 当θ＝2k π－π2

时，sin θ＝－1，tan θ不存在． (2)当m ＝1时，θ＝2k π，k ∈Z ，sin θ＝tan θ＝0.

当m ＝－1时，θ＝2k π＋π，k ∈Z ，sin θ＝tan θ＝0.

(3)当θ在第一、二象限时，

sin θ＝1－m 2，tan θ＝1－m 2

m .

(4)当θ在第三、四象限时，

sin θ＝－1－m 2，tan θ＝－1－m 2

m .

【训练1】 已知角θ的终边经过点P (－3，m ) (m ≠0)且sin θ＝

24m ，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值． 解 由题意，得r ＝3＋m 2，

所以sin θ＝m

3＋m 2＝24m . 因为m ≠0，所以m ＝±5，故角θ是第二或第三象限角．

当m ＝5时，r ＝22，点P 的坐标为(－3，5)，角θ是第二象限角，

所以cos θ＝x r ＝－322＝－64

， tan θ＝y x ＝5－3＝－153

； 当m ＝－5时，r ＝22，点P 的坐标为(－3，－5)，角θ是第三象限角，所以cos θ＝x r ＝－322＝－64

， tan θ＝y x ＝－5－3＝153

. 要点二 诱导公式的应用

(1)对于π±α，－α，2π±α记忆为“函数名不变，符号看象限”．

(2)对于π2

±α记忆为“函数名改变，符号看象限”． 注意：

①名改变指正弦变余弦或余弦变正弦，正切与余切之间变化．

②“符号看象限”是指把α看作锐角时原函数值的符号．

③其作用是“负角变正角，大角变小角，小角变锐角”．

【例2】 (1)若θ∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2，π(注：对任意角α有sin 2α＋cos 2α＝1成立)，则1－π＋θ⎝ ⎛⎭

⎪⎫3π2－θ＝( ) A ．sin θ－cos θ B ．cos θ－sin θ

C ．±(sin θ－cos θ)

D ．sin θ＋cos θ (2)已知f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx －β)，其中α，β， a ，b 均为非零实数，若 f (2 016)＝－1，则f (2 017)等于________．

解析 (1)1－π＋θ⎝ ⎛⎭

⎪⎫3π2－θ ＝1－2sin θcos θ＝|sin θ－cos θ|，又θ∈⎝

⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴sin θ－cos θ＞0，

故原式＝sin θ－cos θ.

(2)由诱导公式知f (2 016)＝a sin α＋b cos β＝－1，

∴f (2 017)＝a sin(π＋α)＋b cos(π－β)

＝－(a sin α＋b cos β)＝1.

答案 (1)A (2)1

【训练2】 已知角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫45

，－35. (1)求sin α的值；

(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αα＋π

·α－ππ－α的值．

解 (1)∵|OP |＝1，

∴点P 在单位圆上． 由正弦函数的定义得sin α＝－35

. (2)原式＝cos α－sin α·tan α－cos α

＝sin αsin α·cos α＝1cos α

， 由余弦函数的定义得cos α＝45.故所求式子的值为54

. 要点三 三角函数的图像及变换

1．用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像时，确定五个关键点的方法是分别令ωx ＋φ

＝0，π2，π，32

π，2π. 2．对于y ＝A sin(ωx ＋φ)＋h ，应明确A 、ω决定“变形”，φ、h 决定“位变”，A 影响值域，ω影响周期，A 、ω、φ影响单调性．针对x 的变换，即变换多少个单位，向左或向右很容易出错，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别．

【例3】 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝

⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的一段图像如图．

(1)求f (x )的解析式；

(2)把f (x )的图像向左至少平移多少个单位，才能使得到的图像对应的函数为偶函数？

解 (1)A ＝3，2πω＝43⎝

⎛⎭⎪⎫4π－π4＝5π， 故ω＝25

. 由f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫25x ＋φ过⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0得sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π10＋φ＝0. 又|φ|＜π2，故φ＝－π10

， 故f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫25x －π10. (2)由f (x ＋m )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤25

x ＋m －π10 ＝3sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫25x ＋25m －π10为偶函数(m ＞0)， 知2m 5－π10＝k π＋π2(k ∈Z )，即m ＝52k π＋3π2

(k ∈Z )． ∵m ＞0，∴m min ＝3π2

. 故至少把f (x )的图像向左平移3π2

个单位长度，才能使得到的图像对应的函数是偶函数． 【训练3】 已知函数f (x )的部分图像如图所示，则f (x )的解析式可能为( )

A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫x 2－π6 B ．f (x )＝2cos ⎝

⎛⎭⎪⎫4x ＋π4 C ．f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫x 2－π3 D ．f (x )＝2sin ⎝

⎛⎭⎪⎫4x ＋π6 解析 由图像知周期T ＝4π，则ω＝12

，排除B 、D ；由f (0)＝1，可排除A. 答案 C

要点四 三角函数的性质

三角函数的性质，重点应掌握y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，在此基础上掌握函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)及y ＝A tan(ωx ＋φ)的相关性质．在研究其相关性质时，将ωx ＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧．

【例4】f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意实数x 满足f (x ＋2)＝f (x )，且f (x )在

[－3，－2]上单调递减，而α，β是锐角三角形的两个内角，求证：f (sin α)>f (cos β)． 证明 ∵f (x ＋2)＝f (x )，

∴y ＝f (x )的周期为2.

∴f (x )在[－1,0]与[－3，－2]上的单调性相同．

∴f (x )在[－1,0]上单调递减．

∵f (x )是偶函数，

∴f (x )在[0,1]上的单调性与[－1,0]上的单调性相反．

∴f (x )在[0,1]上单调递增．①

∵α，β是锐角三角形的两个内角，

∴α＋β>π2

， ∴α>π2－β，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，π2－β∈⎝

⎛⎭⎪⎫0，π2. 又∵y ＝sin x 在⎝

⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增， ∴sin α>sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2－β＝cos β，即sin α>cos β.② 由①②，得f (sin α)>f (cos β)．

【训练4】 已知a ＞0，函数f (x )＝－2a sin(2x ＋π6)＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，

－5≤f (x )≤1.

(1)求常数a ，b 的值；

(2)设g (x )＝f ⎝

⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )＞0，求g (x )的单调区间． 解 (1)∵x ∈⎣

⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6. ∴sin ⎝

⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝

⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]． ∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，

又∵－5≤f (x )≤1，

∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，

因此a ＝2，b ＝－5.

(2)由(1)得a ＝2，b ＝－5，

∴f (x )＝－4sin ⎝

⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝

⎛⎭⎪⎫

2x ＋7π6－1 ＝4sin ⎝

⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， 又由lg g (x )＞0得g (x )＞1，

∴4sin ⎝

⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1＞1， ∴sin ⎝

⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＞12， ∴2k π＋π6＜2x ＋π6＜2k π＋5π6

，k ∈Z ， 其中当2k π＋π6＜2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π＜x ≤k π＋π6

，k ∈Z ，

∴g (x )的单调增区间为⎝

⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π6，k ∈Z . 又∵当2k π＋π2＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6＜x ＜k π＋π3，k ∈Z .

∴g (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .

要点五 三角函数的综合应用

(1)求解复合函数的有关性质问题时，应同时考虑到内层函数与外层函数的各自特征及它们的相互制约关系，准确地进行等价转化；

(2)在求三角函数的定义域时，不仅要考虑函数式有意义，而且要注意三角函数各自的定义域的要求．一般是归结为解三角函数不等式(组)，可用图像法或单位圆法；

(3)求复合函数的单调区间应按照复合函数单调性的规则进行；

(4)用周期函数的定义求函数的周期是求周期的根本方法，在证明有关函数的周期性问题时，也常用周期函数的定义来处理．

【例5】 已知函数f (x )＝log 12⎣

⎢⎡⎦⎥⎤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4. (1)求它的定义域和值域、单调区间；

(2)判断它的奇偶性、周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期．

解 令u (x )＝2sin ⎝

⎛⎭⎪⎫x －π4. f (x )＝log 12⎣⎢⎡⎦

⎥⎤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 ＝－12＋log 12

sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4. (1)要使f (x )有意义，则sin ⎝

⎛⎭⎪⎫x －π4＞0，所以2k π＜x －π4＜(2k ＋1)π(k ∈Z )，即x ∈⎝

⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )． 因为0＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4≤1，所以0＜2sin ⎝

⎛⎭⎪⎫x －π4≤2， 所以f (x )＝log 12

u (x )≥－12. 所以f (x )的值域为⎣⎢⎡⎭

⎪⎫－12，＋∞. x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π，2k π＋π2时，u (x )是增函数，所以f (x )＝log 12

u (x )是减函数． 所以x ∈⎝

⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋3π4时，函数是减函数． 同理可求得x ∈⎣

⎢⎡⎭⎪⎫2k π＋3π4，2k π＋5π4(k ∈Z )时，函数是增函数． (2)因为f (x )的定义域不关于原点对称，所以f (x )是非奇非偶函数．

又f (x ＋2π)＝－12＋log 12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π－π4

＝－12＋log 12

sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝f (x )， 其中x ∈⎝

⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )，所以f (x )是周期函数，且最小正周期是2π. 【训练5】 函数f (x )＝cos x ＋2|cos x |在[0,2π]上与直线y ＝m 有且仅有2个交点，求m 的取值范围．

解 f (x )

＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤32π，2π，－cos x ，x ∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2，32π，

如图：

由图可知：当m ＝0或1＜m ≤3时，直线y ＝m 与f (x )的图像有且仅有2个交点.

基础过关

1．sin(－60°)的值是( )

A ．－12

B.12 C ．－32

D.32 解析 sin(－60°)＝－sin 60°＝－

32. 答案 C

2．已知角α是第二象限角，角α的终边经过点P (x,4)，且cos α＝x

5

，则tan α＝( ) A.43

B.34 C ．－34 D ．－43 解析 ∵α是第二象限角，且终边经过点P (x,4)．

∴x ＜0.

cos α＝x x 2＋42＝x 5，x ＝－3.则P (－3,4)．

∴tan α＝

4－3＝－43

. 答案 D 3．已知2sin ⎝

⎛⎭⎪⎫α＋π2＝1，则cos(α＋π)＝( ) A.12

B ．－12 C.32 D ．－32

解析 ∵2sin ⎝

⎛⎭⎪⎫α＋π2＝2cos α＝1， ∴cos α＝12，cos(α＋π)＝－cos α＝－12

，故选B. 答案 B

4．已知扇形AOB 的周长是6，圆心角是1弧度，则该扇形的面积为________．

解析 由2R ＋l ＝6，l R

＝1，得R ＝l ＝2，

∴S ＝12

×2×2＝2. 答案 2

5．函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值是________，此时自变量x ＝________. 解析 ∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴－π3≤2x －π3≤2π3.令u ＝2x －π3，又函数y ＝sin u 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3

，2π3上的最大值为1，

∴函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎝

⎛⎭⎪⎫0，π2上的最大值是3×1＝3，此时自变量2x －π3＝π2，即x ＝5π12

. 答案 1 5π12

6．计算3－

tan 11π3－cos 585°·tan ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－37π4. 解 原式＝－3sin120°tan 2π3＋cos 225°tan π4

＝－3cos π6·⎝

⎛⎭⎪⎪⎫1－tan π3＋(－cos 45°)·tan π4 ＝－3×32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－22×1＝32－22＝3－22

. 7．已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12

x ＋π4－1，x ∈R ，求： (1)函数f (x )的最小值及此时自变量x 的取值集合；

(2)函数y ＝sin x 的图像经过怎样的变换得到函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12

x ＋π4－1的图像． 解 (1)函数f (x )的最小值是3×(－1)－1＝－4， 此时有12x ＋π4＝2k π－π2，解得x ＝4k π－3π2

(k ∈Z )， 即函数f (x )的最小值是－4，此时自变量x 的取值集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＝4k π－3π2，k ∈Z . (2)步骤是： ①将函数y ＝sin x 的图像向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝

⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图像； ②将函数y ＝sin ⎝

⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数

y ＝sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫12x ＋π4的图像； ③将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12

x ＋π4的图像上所有点的纵坐标伸长为原来的3倍(横坐标不变)，得到函数

y ＝3sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫12x ＋π4的图像； ④将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4的图像向下平移1个单位长度，得函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12

x ＋π4－1的图像．

能力提升

8．若直线x ＝

k π2(－1≤k ≤1)与函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像不相交，则k ＝( ) A.14

B ．－34 C.14或－34 D.14或34

解析 由2x ＋π4＝π2＋n π.n ∈Z ，得x ＝π8＋n π2

. 由题意得k π2＝π8＋n π2，k ＝1＋4n 4

， 又－1≤k ≤1.

∴k ＝14或k ＝－34

. 答案 C

9．设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( )

A ．ω＝23，φ＝π12

B ．ω＝23，φ＝－11π12

C ．ω＝13，φ＝－11π24

D ．ω＝13，φ＝7π24 解析 由题意⎩

⎪⎨⎪⎧5ωπ8＋φ＝2k 1π＋π2，11ωπ8＋φ＝k 2π，其中k 1，k 2∈Z ，所以ω＝43(k 2－2k 1)－23，又T ＝2πω

>2π， 所以0<ω<1，所以ω＝23，φ＝2k 1π＋112π，由|φ|<π得φ＝π12

，故选A. 答案 A

10．已知tan θ＝2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－π－θ

sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－π－θ

＝________. 解析 原式＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝2cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ

＝－2. 答案 －2

11．对于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ，sin x ≤cos x ，cos x ，sin x ＞cos x ，给出下列四个命题：

①该函数是以π为最小正周期的周期函数；

②当且仅当x ＝π＋k π(k ∈Z )时，该函数取得最小值－1；

③该函数的图像关于x ＝5π4

＋2k π(k ∈Z )对称； ④当且仅当2k π＜x ＜π2＋2k π(k ∈Z )时，0＜f (x )≤22.

其中正确命题的序号是________(请将所有正确命题的序号都填上)．

解析 画出f (x )在一个周期[0,2π]上的图像．

由图像知，函数f (x )的最小正周期为2π，在x ＝π＋2k π(k ∈Z )和x ＝3π2

＋2k π(k ∈Z )时，该函数都取得最小值－1，故①②错误，由图像知，函数图像关于直线x ＝

5π4

＋2k π(k ∈Z )对称，在2k π＜x ＜π2＋2k π(k ∈Z )时，0＜f (x )≤22

.故③④正确． 答案 ③④ 12．已知函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π3－2x ，求： (1)函数的周期；

(2)求函数在[－π，0]上的单调递减区间．

解 由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 可化为y ＝－sin ⎝

⎛⎭⎪⎫2x －π3. (1)周期T ＝2πω＝2π2

＝π. (2)令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2

，k ∈Z ， 得k π－π12≤ x ≤k π＋5π12

，k ∈Z . 所以x ∈R 时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦

⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z . 从而x ∈[－π，0]时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调递减区间为⎣

⎢⎡⎦⎥⎤－π，－7π12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，0.

13．(选做题)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图像如图所示．

(1)求f (x )的解析式；

(2)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋…＋f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫2 015π4的值． 解 (1)由图像可知A ＝2，

周期T ＝2⎝ ⎛⎭

⎪⎫7π12－π12＝π， 所以ω＝2πT ＝2ππ

＝2， 则f (x )＝2sin(2x ＋φ)，

由图像过点⎝ ⎛⎭

⎪⎫π12，2， 得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12

＋φ＝2， 即sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π6＋φ＝1， 取π6＋φ＝π2得φ＝π3

， 故f (x )＝2sin ⎝

⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (2)由(1)可知f (x )的周期为π，

因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫4π4＝1－3－1＋3＝0， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋…＋f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫2 015π4 ＝0×503＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 013π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 014π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 015π4 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π4＋f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫3π4＝1－3－1 ＝－ 3.