(Advanced Mathematics)

数学是科学的大门和钥匙.— 培根

1-3 极限存在准则 两个重要极限极限存在准则 两个重要极限

小结第一章 函数与极限2

极限存在准则 两个重要极限

一、极限存在准则1. 两边夹准则 准则Ⅰ 如果{ x n }, { yn }及{ z n }满足:

(1) yn xn zn( 2) lim y n a ,n

( n 1,2,3 ),lim z n a ,n

那末数列 { xn }的极限存在, 且 lim x n a .n

极限存在准则 两个重要极限

例 求 lim(n

1 n 12

12

1 n 22

12

1 n n2

).n ,

解

n2

n n n 1 n n n 1 又 lim 2 lim 1, n n n n 1 1 n n 1 lim 2 lim 1, n n 1 n 1 1 2 n

n 12

由两边夹准则得, 原极限 1.5

极限存在准则 两个重要极限

2. 单调有界准则

如果数列 { xn }满足条件 x1 x 2 x n x n 1 , 单调增加 单调数列 x1 x 2 x n x n 1 , 单调减少准则Ⅱ 单调有界数列必有极限.

几何解释:

x1 x 2 x 3x n x n 1

A

M

x

6

极限存在准则 两个重要极限

例 证明数列xn 3 3 3 (n重根式)的 极限存在. 并求该极限. 证 (1) 显然 x n 1 x n ,

{ xn }是单调增加的;(2) x1 3 3, 假定 x k 3,

x k 1 3 x k 3 3 3, { xn }是有界的;

lim xn 存在.n 7

极限存在准则 两个重要极限

证明数列xn 3 3 3 (n重根式)的 极限存在.

(3) 设 lim x n An

x n 1n

2 x 3 x n , n 1 3 x n ,n

2 lim x n 1 lim( 3 x n ),

A 2 3 A,

1 13 1 13 , A (舍去) 解得 A 2 2

1 13 lim x n . n 28

极限存在准则 两个重要极限

二、两个重要极限作为两边夹准则 的应用

CBO

(1)

sin x lim 1 x 0 x

xD

A

0 x 2 AOB的面积 圆扇形AOB的面积 AOC的面积

9

极限存在准则 两个重要极限

1 1 1 sin x x tan x 即 2 2 2

sin x sin x x tan x , 即 cos x 1, x 上式对于 x 0也成立. 2 lim cos x 1, 又 lim 1 1, 夹逼定理 x 0 x 0x sin x lim 1 lim 1 x 0 sin x x 0 x 0 该极限的特点: (1) 型未定式 ; 0

(2) sin 与分数线另一侧的变量 形式一致 .10

极限存在准则 两个重要极限

sin x lim 1 x x sin x 0 正确 lim x x

0 ( 非 型未定式.) 0

( x) sin 一般有 lim 1. ( x) 0 ( x )

11

极限存在准则 两个重要极限

x x lim cos x 1 例 lim x 0 tan x x 0 sin x sin x 1 sin x 1 例 lim lim 3 x 0 3 3x 3 x 0 x 3 3

3

3

2 x x 2 2 sin sin 1 1 1 cos x 2 2 lim 例 lim

lim x 0 x 0 2 x 0 x 2 x2 x2

2 sin 2 n 2 例 lim n sin lim 2 n n n 2 n

2

12

极限存在准则 两个重要极限

(2) 直观说明

1 x lim (1 ) e x x1 2 210103 104

x 1 x (1 ) x

2.25 2.594 2.717 2.7181 e1 1 x lim (1 ) e , 令 t x x x

1 n lim (1 ) e , n n1 x

1 t lim (1 x ) lim (1 ) e. t x 0 t

lim(1 x ) ex 013

1 x

极限存在准则 两个重要极限

1 x lim (1 ) e x x该极限的特点:(1) 1 型未定式 ;

lim(1 x ) ex 0

1 x

(2) 括号中1后的变量(包括符号)与幂互为倒数.

[1 ( x )] 一般有 (lim x) 0

1 ( x)

e

14

极限存在准则 两个重要极限

2 n 1 lim 1 1 2 例 lim 1 (1 ) n e n n n 2n

2 2 1 (1 ) lim 1 例 lim x x 3x 3x x

3 x 2

2 e3

2 3

例 lim 1 sin x x 0

2 x

1 sin x lim 1 sin x (1 ) x 0

2 sin x x

e2

15

极限存在准则 两个重要极限

注 若 lim ( x ) 0, lim ( x ) , 则 1 lim[1 ( x )] ( x ) lim [1 ( x )] ( x ) ( x ) ( x )

{

}

e lim ( x ) ( x )例 lim 1 x x 0 cot x

(1 )

x ( x ) cot x lim cos x 1 解 lim x 0 x 0 sin x

原极限 e .16

1

极限存在准则 两个重要极限

1 3x x 1 x lim x 3 e x 1 3x 2 x lim lim 1 lim ( 1 ) 例 x e e x 2 x x 2 x 2 2 e 1 3 x e

x

1 例 lim(cos ) x x2

x2 2

(1 )x2 2

2 1 (1 sin ) 解 原式= lim x x

e

1 22

1 2 sin 1 1 x 1 2 x lim sin lim x 2 x 2 2 x 1 x 17