(1)函数的单调性是函数在定义域内某一区间内的局部性质，而不是整体性质．

一是同属于一个单调区间，二是任意性，切不可用两个特殊值代替，三是规定了大小关系．要证明函数f(x)在区间[a，b]上是单调递增(递减)的，

而要证f(x)在区间[a，b]上不是递增(递减)的，则只需举出反例即可．

2．判断函数单调性的方法

最基本的方法是依据函数单调性的定义来证明，其步骤如下：

并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变化；

第三步：定号，即确定差的符号，当符号不确定时，可进行分区间讨论；

第四步：判断，即根据定义确定是增函数还是减函数．

也可根据函数简单的运算性质和复合函数的性质来确定函数的单调性．

3．函数单调性的应用

单调性是函数的重要性质，它在研究函数时具有重要的作用．具体表现在：

(1)利用函数的单调性，可以把比较函数值的大小问题，转化为比较自变量的大小问题，也是我们解不等式的依据．

(2)确定函数的值域或求函数的最值．

对于函数f(x)，如果它在区间[a，b]上是增函数，那么它的值域是[f(a)，f(b)]，如果它在区间[a，b]上是减函数，那么它的值域是[f(b)，f(a)]，如果它在区间[a，c]上是增(减)函数，在[c，b]上是减(增)函数，那么它的最大(小)值是f(c)．

4．常用函数的单调性

(1)一次函数y＝kx＋b，当k＞0时，函数在R上为单调递增函数；当k＜0时，函数在R 上为单调递减函数．

思维整合

【重点】本节重点是函数单调性的概念以及函数单调性的判定、函数单调性的应用．

【难点】利用函数单调性的概念来证明或判断函数的单调性．

【易错点】1．复合函数的单调性只注意复合关系，不注意范围；

精典例题再现

【解析重点】

例求下列函数的单调区间．

［解析］求函数单调区间有多种方法，可以利用定义法，可以利用基本的初等函数的单调性，也可以用图象的直观性．

作出函数的图象，如图2－3－1所示：

在(－∞，－1]和[0，1]上，函数f(x)是增函数，在[－1，0]和[1，＋∞)上，函数是减函数．故其单调递增区间为(－∞，－1]和[0，1]；其单调递减区间为[－1，0]和[1，＋∞)．

点拨对于(2)中求复合函数单调区间的问题，一般有以下结论：设y＝f(u)，u＝g(x)，x∈[a，b]，u∈[m，n]，若f(u)是[m，n]上的增函数，则f[g(x)]的增减性与g(x)的增减性相同；如果f(u)是[m，n]上的减函数，则f[g(x)]的增减性与g(x)的增减性相反，此种问题特别要注意考虑函数的定义域．