大一高数,重点考前技巧

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高等数学（本科少学时类型）
NO1函数与极限
1函数
○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★）
○邻域（去心邻域）（★）


2数列的极限
○数列极限的证明（★）
【题型示例】已知数列 ，证明
【证明示例】 语言
1．由 化简得 ，
∴
2．即对 ， ，当 时，始终有不等式 成立，
∴
3函数的极限
○ 时函数极限的证明（★）
【题型示例】已知函数 ，证明
【证明示例】 语言
1．由 化简得 ，
∴
2．即对 ， ，当 时，始终有不等式 成立，
∴
○ 时函数极限的证明（★）
【题型示例】已知函数 ，证明
【证明示例】 语言
1．由 化简得 ，
∴
2．即对 ， ，当 时，始终有不等式 成立，
∴
二 无穷小与无穷大
○无穷小与无穷大的本质（★）
函数 无穷小
函数 无穷大
○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★）
（定理三）假设 为有界函数， 为无穷小，则
（定理四）在自变量的某个变化过程中，若 为无穷大，则 为无穷小；反之，若 为无穷小，且 ，则 为无穷大
【题型示例】计算： （或 ）
1．∵ ≤ ∴函数 在 的任一去心邻域 内是有界的；
（∵ ≤ ，∴函数 在 上有界；）
2． 即函数 是 时的无穷小；
（ 即函数 是 时的无穷小；）
3．由定理可知
（ ） 2极限运算法则
○极限的四则运算法则（★★）
（定理一）加减法则
（定理二）乘除法则
关于多项式 、 商式的极限运算
设：
则有

（特别地，当 （不定型）时，通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）

【题型示例】求值
【求解示例】解：因为 ，从而可得 ，所以原式
其中 为函数 的可去间断点
倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：
解：
○连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（★★）
（定理五）若函数 是定义域上的连续函数，那么，
【题型示例】求值：
【求解示例】

二．极限存在准则及两个重要极限

○夹迫准则（P53）（★★★）
第一个重要极限：
∵ ， ∴

（特别地， ）

○单调有界收敛准则（P57）（★★★）
第二个重要极限：
（一般地， ，其中 ）

【题型示例】求值：
【求解示例】

No2无穷小量的阶（无穷小的比较）
○等价无穷小（★★）
1．
2．
（乘除可替，加减不行）
【题型示例】求值：
【求解示例】

No2函数的连续性
○函数连续的定义（★）

○间断点的分类（P67）（★）
（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）
【题型示例】设函数 ， 应该怎样选择数 ，使得 成为在 上

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的连续函数？
【求解示例】
1．∵
2．由连续函数定义
∴

No3闭区间上连续函数的性质
○零点定理（★）
【题型示例】证明：方程 至少有一个根介于 与 之间
【证明示例】
1．（建立辅助函数）函数 在闭区间 上连续；
2．∵ （端点异号）
3．∴由零点定理，在开区间 内至少有一点 ，使得 ，即 （ ）
4．这等式说明方程 在开区间 内至少有一个根
导数与微分
导数概念
○高等数学中导数的定义及几何意义（P83）（★★）
【题型示例】已知函数 ， 在 处可导，求 ，
【求解示例】
1．∵ ，
2．由函数可导定义
∴
【题型示例】求 在 处的切线与法线方程
（或：过 图像上点 处的切线与法线方程）
【求解示例】
1． ，
2．切线方程：
法线方程：
1函数的和（差）、积与商的求导法则
○函数和（差）、积与商的求导法则（★★★）
1．线性组合（定理一）：
特别地，当 时，有
2．函数积的求导法则（定理二）：
3．函数商的求导法则（定理三）：
第一节反函数和复合函数的求导法则
○反函数的求导法则（★）
【题型示例】求函数 的导数
【求解示例】由题可得 为直接函数，其在定于域 上单调、可导，且 ；∴
○复合函数的求导法则（★★★）
【题型示例】设 ，求
【求解示例】

2 高阶导数
○ （或 ）（★）
【题型示例】求函数 的 阶导数
【求解示例】 ，
，

……

第二节隐函数及参数方程型函数的导数
○隐函数的求导（等式两边对 求导）（★★★）
【题型示例】试求：方程 所给定的曲线 ： 在点 的切线方程与法线方程
【求解示例】由 两边对 求导
即 化简得
∴
∴切线方程：
法线方程：
○参数方程型函数的求导
【题型示例】设参数方程 ，求
【求解示例】1. 2.
第三节变化率问题举例及相关变化率（不作要求）
第四节函数的微分
○基本初等函数微分公式与微分运算法则（★★★）

第二章中值定理与导数的应用
第一节中值定理
○引理（费马引理）（★）
○罗尔定理 …… 此处隐藏：3241字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……