数理统计课件 第5章

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第5章 假设检验 章 假设检验(II)第5.1节 几种简单的非参数检验 节 第5.2节 分布拟合的χ2检验法 节 分布拟合的χ

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第5.1节 几种简单的非参数检验 节 一、符号检验法5.1.1 中位数的符号检验为总体的可能分布族.记分布 设P为总体的可能分布族 记分布 的中位数为 为总体的可能分布族 记分布F的中位数为 1 ζ 1/ 2 = ζ 1/ 2 = inf{ x : F ( x ) ≥ }. 2 假定分布族P的分布 的分布F都是连续的且在 假定分布族 的分布 都是连续的且在ζ 1/ 2 严格单 调，则 1 1 ζ 1/ 2 > m0 F (m0 ) < , ζ 1/ 2 < m0 F (m0 ) > , 2 2 1 1 ζ 1/ 2 = m0 F (m0 ) = , ζ 1/ 2 ≠ m0 F (m0 ) ≠ . 2 2

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考虑检验问题

H0 : ζ 1/ 2 = m0 H1 : ζ 1/ 2 ≠ m0 .

(5. 1. 1)

若样本X=(X1,…,X n)为取自这一分布族的一个 若样本 ， 为取自这一分布族的一个 样本量为n的样本 的样本.若取 样本量为 的样本 若取 (5. 1. 2) Zi = I( X > m ) , i = 1, n.i 0

则样本Z=(Z1,…,Z n)为取自两点分布 为取自两点分布b(1, p)的样 则样本 ， 为取自两点分布 的样 本， p=P(Z1=1)=P(X1 >m0)=1-F(m0), 且 1 ζ 1/ 2 = m0 p = P( X1 > m0 ) = , 2 1 ζ 1/ 2 ≠ m0 p = P( X1 > m0 ) ≠ . 2

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式(5. 1. 1)等价于下列假设 等价于下列假设 1 1 (5. 1. 3) H 0 : p = H1 : p ≠ . 2 2 记 n n N + = ∑ Zi = ∑ I( Xi > m0 ) = #{i : X i m0 > 0}, (5. 1. 4)i =1 i =1

基于样本Z的水平 基于样本 的水平α 的拒绝域常取为

W = { X : N + ≤ C1 或 N + ≥ C2 },其中

C1 = sup{k : b(k; n,1/ 2) ≤ α / 2}, C2 = inf{k :1 b(k 1; n,1/ 2) ≤ α / 2}, n j b(k; n, p) = ∑ p (1 p)n j . j =1 j k

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定义5.1.2 在上述的检验法中，由规定的检验统计 在上述的检验法中， 定义 就是X 中取正值的个数， 量N +就是 1-m0,…,X n -m0中取正值的个数，因 ， 此这一检验法常称为符号检验法(sign test).它只利 此这一检验法常称为符号检验法 它只利 用了X 取值正负的信息. 用了 i -m0取值正负的信息

5.1.3 分位数的符号检验考虑检验问题 H0 : ζ r = m0 H1 : ζ r ≠ m0 . (5. 1. 5)

这时有(5. 规定的仍是b(1, p)分布的，而与式 分布的， 这时有 1. 2)规定的仍是 规定的仍是 分布的 (5. 1. 5)等价的是下列假设 等价的是下列假设

H0 : p = 1 r H1 : p ≠ 1 r .

(5. 1. 6)

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基于样本Z的水平 基于样本 的水平α 的拒绝域常取为

W = { X : N + ≤ C1

或 N + ≥ C2 },

(5. 1. 7)

C1 = sup{ k : b( k ; n,1 r ) ≤ α / 2}, C 2 = inf{ k : 1 b( k 1; n,1 r ) ≤ α / 2}.

5.1.4 符号检验用于单侧备择假设H0 : ζ r ≤ m0 H1 : ζ r > m0 .与p=P(Z1=1)=P(X1 >m0)的下列假设等价 的下列假设等价 (5. 1. 8)

H0 : p ≤ 1 r H1 : p > 1 r .基于样本Z的水平 基于样本 的水平α 的拒绝域常取为

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W = { X : N = ∑ I( X i > m0 ) ≥

C },+ i =1

n

其中 C = inf{ k : 1 b( k 1; n,1 r ) ≤ α }. 类似地， 类似地，对于假设

H0 : ζ r ≥ m0 H1 : ζ r < m0 .基于样本Z的水平α 的拒绝域取为 基于样本 的水平

W = { X : N + = ∑ I( Xi > m0 ) ≤ C },i =1

n

其中

C = sup{ k : b( k ; n,1 r ) ≤ α }.

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注 5.1.5(i) 在上述讨论中，都假定分布族在中位数或在 在上述讨论中， 分位数是连续严格单调的，这样P(Xi≤ζp)=p的解是 分位数是连续严格单调的，这样 的解是 存在唯一的， 存在唯一的，且 P(X i=ζp)=0. 但在实际观测值时，常常会发生某个观测值 但在实际观测值时， xi=m0 ,遇到这种情况，对xi=m0的观测值不予计 遇到这种情况， 数，即 n1=#{i:xi≠m0 ,1≤i≤n}. ≤≤ 代替拒绝域中的n就行了 就行了. 用n1代替拒绝域中的 就行了

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(ii) 当样本量 较大时，在式 1. 5)的原假设下， 当样本量n较大时 在式(5. 较大时， 的原假设下， 的原假设下 统计量N 是近似N(n(1-r), n r(1-r))分布的，利用近 分布的， 统计量 +是近似 分布的 似分布，问题(5. 似分布，问题 1. 5)的拒绝域可取为 的拒绝域可取为

W = { X :| N n(1 r ) |≥ z1 α / 2 nr (1 r )},其中z 是标准正态分布的1- 分位数 分位数. 其中 1-α/2是标准正态分布的 α/2分位数 当样本量n较大时 利用近似分布 问题(5. 当样本量 较大时,利用近似分布，问题 1. 8) 较大时 利用近似分布， 的拒绝域可取为

+

W = { X : N + ≥ n(1 r ) + z1 α nr (1 r )},

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5.1.6 比较配对样本为配对样本， 设 (X1, Y1) …( X n ,Y n)为配对样本，为了比 为配对样本 较与平均效应的差异， 在关于D 较与平均效应的差异， D i=Xi- Yi ,在关于 i分 布信息不充分时，可利用符号检验法对D 布信息不充分时，可利用符号检验法对 i的中位 检验如下的假设： 数m(D)检验如下的假设： 检验如下的假设 H0: m(D) = 0 H1: m(D) ≠ 0

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二、两样本的秩和检验5.1.7 两随机变量分布的比较分别以连续的F,G为分布， 为分布， 设随机变量ξ,η,分别以连续的 为分布 进而， 则P(ξ =η)=0.进而，若F=G ,则 进而 1 P(ξ ≤ η ) = ∫∫ I( x≤ y )dF ( x )dG( y ) = ∫ F ( y )dF ( y ) = , 2 1 P(ξ < η ) = ∫∫ I( x< y )dF ( x )dF ( y ) = ∫ F ( y )dF ( y ) = . 2 (5. 1. 9) 若F≤G , x∈R,则 ≤ ∈ 则 P(ξ ≤ x)= F (x) ≤ G (x) = P( η ≤ …… 此处隐藏：2583字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……