电路分析基础11耦合电感和理想变压器

专业基础课

电路分析基础教师：张 荣

第十一章 耦合电感和理想变压器 耦合电感

互感 耦合电感的VCR 耦合系数 空心变压器 反映阻抗 理想变压器的VCR 理想变压器的阻抗变换

11. 1 互感和互感电压一、 互感和互感电压

11 21N1 i1 + u11 – + N2 u21 –

当线圈1中通入电流i1时，在线圈1中产生磁通，同时， 有部分磁通穿过邻近线圈2。 def 11 L1 线圈1的自感系数 i1 21 M 21 i1def

线圈1对线圈2的互感系数，单位：H

11 21N1 i1 + u11 – + N2 u21 –

当i1与u11关联取向；u21与磁通符合右手螺旋法则时dΨ dΦ11 11 u11 N1 dt dt dΨ dΦ21 21 u21 N2 dt dt

u11:自感电压； u21:互感电压。 :磁链

u11 L1

di1 dt

u21 M 21

di1 dt

12N1+自感电压 互感电压

22i2 – + N2 u22 –(L2 22 ) i2

u12

u22

d 22 d 22 di N2 L2 2 dt dt dt

d 12 d 12 di2 u12 N1 M 12 dt dt dt

12 (M 12 ) i2

可以证明：M12= M21= M。

当两个线圈同时通以电流时，每个线圈两端的电压均包 含自感电压和互感电压：

di1 di2 u1 u11 u12 L1 M dt dt di1 di2 u2 u22 u21 M L2 dt dt互感的性质 ① M12=M21=M ②互感系数 M 只与两个线圈的几何尺寸、匝数 、 相互位置 和周围的介质磁导率有关。

关联输入时，判断互感电压极性的简单方法线圈绕向 同， 磁通方向 同，电压极性 同 线圈绕向 反， 磁通方向 同，电压极性 反 线圈绕向 同， 磁通方向 反，电压极性 反 线圈绕向 反， 磁通方向 反，电压极性 同

耦合系数 k: 表示两个线圈磁耦合的紧密程度。k def

M L1 L2

0 k 1 K=1 K≈1 K=0

全耦合： 紧耦合 无耦合(孤立电感)

M L1 L2 Mmax L1 L2 (K 1,即全耦合时)

互感小于两元件自感的几何平均值。

二、互感线圈的同名端 具有互感的线圈两端的电压包含自感电压和互感电 压。表达式的符号与参考方向和线圈绕向有关。

对自感电压：当u11, i 1关联取向 当u11, i1 非关联取向

di1 u11 L1 dt di1 u11 L1 dt

对互感电压，因产生该电压的电流在另一线圈上，因 此，要确定其符号，就必须知道两个线圈的绕向及磁通方 向。这在电路分析中显得很不方便。

11

s

0N1 i1 N2 N3

+

*

u11 –

+ u21 – + u31 –

*

di 1 u21 M 21 dt di 1 u31 M 31 dt

引入同名端可以解决这个问题。

同名端：当两个电流分别从两个线圈的对应端子流入 ，其所产生的磁场相互加强时，则这两个对应端子称为同名端， 否则为异名端。

同名端的实验测定： R S 1 i *1'

*22'

+ V –

如图电路，当开关S突然闭合时，i增加，

di 0, dt

u22' M di 0 dt

电压表

正偏。

当两组线圈装在黑盒里，只引出四个端线组，要确定 其同名端，就可以利用上面的结论来加以判断。

当S突然闭合时： 电压表若正偏，则1、2 为同名端 电压表若反偏，则1、2’ 为同名端

三、由同名端及u,i参考方向确定互感线圈的特性方程 互感电压的正负号判定规则： 当电流的流入端与该电流引起的互感电压的参考正极 端为同名端时，互感电压取正号，反之，取负号。 i1 M

*L1 i1 * L1 M

+ * L2 uM _

di1 uM M dt

L2 *

+ uM _

di1 uM M dt

i1 + u1 _ * L1

M * L2

i2

i1

M

i2 L2 * + u2 _

+ u2 _

+ u1 _

* L1

时域形式： u1 L1

di1 di 2 M dt dt di1 di 2 u2 M L2 dt dt

u1 L1

di1 di M 2 dt dt

di1 di 2 u2 M L2 dt dt

在正弦稳态电路中，其相量形式的方程为 I 1 j M I2 + + U 1 jω L1 I 1 jω MI 2 * * j L2 U 2 U 1 j L1 U 2 jω MI 1 jω L2 I 2 _ _

L1 ——自感抗( )j L1 ——自感阻抗( )

M ——互感抗( )j M ——互感阻抗( ) I1 I2

i1 + u1di M 2 dt_

i2 + L1 + L2 + di u2M1

+ U1

j L1

j L2

+ U2

_

dt

_

_

j MI 2

+_

+

_

j MI1

_

互感的时域等效模型

互感的等效相量模型

注：上图中将互感电压用电压源表示后，L1 与L2就不再具有耦合关系。

11. 2 耦合电感电路的分析一、互感线圈的串联 1. 顺串 + u – i + * u1 L1 M – + * u2 L2 – + i

u–

L顺串

u L1 di M di L2 di M di dt dt dt dt ( L1 L2 2 M ) di L顺串 di dt dt

L顺串 L1 L2 2 M

i 2. 反串 + + * u1 L1 – M + u2 L2 – * + u –

i

u–

L反串

u L1 di M di L2 di M di dt dt dt dt ( L1 L2 2 M ) di L反串 di dt dt

L反串 L1 L2 2 M

互感的测量方法： 顺接一次，反接一次，就可以测出互感：L顺 L反 M 4