轮总复习第八章平面解析几何计时双基练60定点、定值、探索性问题理北师大版

时间:2025-07-08

轮总复习第八章平面解析几何计时双基练60定点、定值、探索性问题理北师大版

1 计时双基练六十 定点、定值、探索性问题

A 组 基础必做

1.(2015·课标全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中,曲线C :y =x 24

与直线l :y =kx +a (a >0)交于M ,N 两点。

(1)当k =0时,分别求C 在点M 和N 处的切线方程;

(2)y 轴上是否存在点P ,使得当k 变动时,总有∠OPM =∠OPN ?说明理由。 解 (1)由题设可得M (2a ,a ),N (-2a ,a ),或M (-2a ,a ),N (2a ,a )。 又y ′=x 2,故y =x 24

在x =2a 处的导数值为a ,C 在点(2a ,a )处的切线方程为y -a =a (x -2a ),即ax -y -a =0。 y =x 24

在x =-2a 处的导数值为-a ,C 在点(-2a ,a )处的切线方程为y -a =-a (x +2a ),即ax +y +a =0。 故所求切线方程为ax -y -a =0和ax +y +a =0。

(2)存在符合题意的点,证明如下:

设P (0,b )为符合题意的点,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),直线PM ,PN 的斜率分别为k 1,k 2。 将y =kx +a 代入C 的方程得x 2-4kx -4a =0。

故x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-4a 。

从而k 1+k 2=

y 1-b x 1+y 2-b x 2 =2kx 1x 2+ a -b x 1+x 2 x 1x 2=k a +b a 。

当b =-a 时,有k 1+k 2=0,则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补, 故∠OPM =∠OPN ,所以点P (0,-a )符合题意。

2.(2015·四川卷)如图,椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率是22

,点P (0,1)在短轴CD 上,且PC →·PD →

=-1。

(1)求椭圆E 的方程;

(2)设O 为坐标原点,过点P 的动直线与椭圆交于A ,B 两点。是否存在常数λ,使得OA →·OB

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2 +λPA →·PB →为定值?若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由。

解 (1)由已知,点C ,D 的坐标分别为(0,-b ),(0,b )。

又点P 的坐标为(0,1),且PC →·PD →=-1,

于是⎩⎪⎨⎪⎧

1-b 2=-1,c a =22,a 2-b 2=c 2。解得a =2,b =2。

所以椭圆E 的方程为x 24+y 22

=1。 (2)当直线AB 的斜率存在时,设直线AB 的方程为y =kx +1,A ,B 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2)。

联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ x 24+y 22

=1,y =kx +1,

得(2k 2+1)x 2+4kx -2=0。 其判别式Δ=(4k )2+8(2k 2+1)>0,

所以,x 1+x 2=-4k 2k 2+1,x 1x 2=-22k 2+1

。 从而,OA →·OB →+λPA →·PB →=x 1x 2+y 1y 2+λ[x 1x 2+(y 1-1)(y 2-1)]

=(1+λ)(1+k 2

)x 1x 2+k (x 1+x 2)+1

= -2λ-4 k 2+ -2λ-1 2k 2+1=-λ-12k 2+1

-λ-2。 所以,当λ=1时,-λ-12k 2+1

-λ-2=-3。 此时,OA →·OB →+λPA →·PB →=-3为定值。

当直线AB 斜率不存在时,直线AB 即为直线CD 。

此时,OA →·OB →+λPA →·PB →=OC →·OD →+PC →·PD →=-2-1=-3。

故存在常数λ=1,使得OA →·OB →+λPA →·PB →为定值-3。 3.(2015·山西四校联考)椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的上顶点为A ,P ⎝ ⎛⎭

⎪⎫43,b 3是C 上的一点,以AP 为直径的圆经过椭圆C 的右焦点F 。

(1)求椭圆C 的方程;

(2)动直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点,问:在x 轴上是否存在两个定点,它们到直线l 的距离之积等于1?如果存在?求出这两个定点的坐标;如果不存在,说明理由。

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3 解 (1)由题知F (c,0),A (0,b ),FA →·FP →=0,得

c 2-43c +b 23=0,① 又点P 在椭圆C 上,所以169a 2+b 2

9b 2=1,a 2=2,② b 2+c 2=a 2=2,③

①③联立解得,c =1,b 2=1,

故所求椭圆的方程为x 22

+y 2=1。 (2)当直线l 的斜率存在时,设其方程为y =kx +m ,代入椭圆方程,消去y , 整理得(2k 2+1)x 2+4kmx +2m 2-2=0,(*)

因为方程(*)有且只有一个实根,又2k 2+1>0,

所以Δ=0,得m 2=2k 2+1。

假设存在M 1(λ1,0),M 2(λ2,0)满足题设,则由

d 1·d 2=| λ1k +m λ2k +m |k 2+1

=|λ1λ2k 2+ λ1+λ2 km +2k 2+1|k 2+1

=⎪⎪⎪⎪

⎪⎪ λ1λ2+2 k 2+ λ1+λ2 km +1k 2+1=1对任意的实数k 恒成立,得⎩⎪⎨⎪⎧ λ1λ2+2=1,λ1+λ2=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ1=1,λ2=-1或⎩⎪⎨⎪⎧ λ1=-1,λ2=1。

当直线l 的斜率不存在时,经检验符合题意。

综上,在x 轴上存在两个定点M 1(1,0),M 2(-1,0)它们到直线l 的距离之积等于1。

B 组 培优演练

1.(2015·陕西卷)如图,椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)经过点A (0,-1),且离心率为2

2

(1)求椭圆E 的方程;

(2)经过点(1,1),且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ,Q (均异于点A ),证明:直线AP 与AQ 的斜率之和为2。

解 (1)由题设知c

a =22

,b =1,

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4 结合a 2=b 2+c 2,解得a =2。

所以椭圆的方程为x 22

+y 2=1。 (2)证明:由题设知,直线PQ 的方程为y =k (x -1)+1(k ≠2),代入x 22

+y 2

=1,得(1+2k 2)x 2-4 …… 此处隐藏:1612字,全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……

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