2013届高考理科数学总复习(第1轮)全国版课件：第10章 排列、组合、(11份)

第十章 排列、组合、 二项式定理和概率第 讲

(第二课时)1

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题型4

利用二项式定理求组合数的和

1. 求下列各式的和： (1) 3 C 20n - C 21 n 3 C 22n - C 23n - C 22nn -1 3 C 22nn ; (2) C 0 C 1 C 1 C 2 C 2 C 3 C n -1C n .n n n n n n n n

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解 :(1)原式=2( C0 1 2

0 2n

- C2n C2n - C2n - C 2n C 2n ) 1 2 3 2 n -1 2n

( C 2 n C 2 n C 2 n C 2 n C 2 n ) 2(1 - 1)2 n -1 2n

2n

(1 1)

2n

4

n

.

(2)因为(1+x)n· (x+1)n=(x+1)2n , 0 1 2 2 n n 0 n 1 n -1 所以 ( C n C n x C n x C n x )( C n x C n x n -1 n 0 2n 1 2 n -1 2n C n x C n ) C 2n x C 2n x C 2n . 比较等式两边xn-1的系数，得 0 1 1 2 2 3 n -1 n n -1 C n C n C nC n C n C n C n C n C 2n . 点评：逆用、变用二项式定理是解决组 合数求和公式的关键.3

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求

C n 2C n nC n1 2

n

的和.

1 解：设 S C n 2 C n2 nC nn , 则 S 0 C 0 C 1 2C 2 nC n , n n n n 倒序： S n C n ( n - 1) C n -1 C 1 0 C 0n n n n

两式相加，得 0 1 2 n n 2 S n (C n C n C n C n ) n 2 所以S=n· n-1,即 2 . 1 2 n n -1C n 2 C n nC n n 2

n C n ( n - 1) C n ( n - 2 ) C n 0 C n0 1 2

n

,

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利用二项式定理解决 整除性和余数问题 2. (1)求证：4· n+5n+1-9(n∈N*)能被20整除； 6 (2)求5555除以8的余数. 解：(1)证明:因为4· n+5n+1-9=4(6n-1)+5(5n-1) 6 =4[(5+1)n-1]+5[(4+1)n-1] = 0 n 1 n -1 2 n -2 n -14 (C n 5 C n 50 n

题型5

Cn 5n -1

C n 5)n -2 n -1

=

5( C n 4 C n 41

Cn 42

C n 4)

0 n -1 1 n -2 2 n -3 n -1 2 0n C n n+1 C n 4 C n 4 C n ) ( 4 所以4· +5 -9能被20整除. 6

2 0 (C n 50

n -1

Cn 51

n -2

Cn 52

n -3

Cn )n -1

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0 1 (2)因为5555=(56-1)55= C 55 56 55 - C 55 56 54 54 , C 55 5 6 - 1 又56是8的倍数，故上面的展开式可设 为8m-1. 因为8m-1=8(m-1)+7, 所以5555除以8的余数是7. 点评：求整除或余数问题，一般是把被除 式配凑成除式的倍式加余数的形式，如第(1) 问中先分别把4· n中的6n变为5的倍数加余 6 数的形式，而5· n的化为4的倍数加余数的 5 形式，这样就凑出20的倍数式和余数式.

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若 C n1 x C n2 x 2 C nn x n 能被7 整除，则x,n的值可能为( C ) A. x=4,n=3 B. x=4,n=4 C. x=5,n=4 D. x=6,n=5 解: , 1 2 2 n n n C n x C n x L C n x (1 x ) - 1 当x=5,n=4时，(1+x)n-1=64-1=35×37 能被7整除，故

选C.7

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题型6

利用二项式定理求近似值

3. 求下列各数的近似值，使误差小于0.001. (1)1.028;(2)0.9986. 解：(1)1.028=(1+0.02)8= C 0 C 1 0.02 C 2 0.02 28 8 8

. 8 3 3 8 C 8 002 C 8 0.02 因为精确度为0.001,比它小的数可以忽略， 所以1.028≈1+0.16+0.0112=1.1712≈1.171.8

C 8 0.02 C 8 0.02 1 0.16 0.01123 3 8 8

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(2)0.9986=(1-0.002)6=

. 2 因为T3= C 62 (-0 .0 0 2 )=15×0.000004<0.001, 且以后各项的绝对值都小于0.001, 这些项可忽略不计. 所以0.9986≈1+6×(-0.002)=1-0.012=0.988. 点评：指数的近似值计算可转化为二项式定 理的展开式，由近似值的要求，转化为求展 开式的前两项或前三项的值即可. C 6 (-0.002) C 6 (-0.002)2 2 6 6

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某地现有耕地10000公顷，规

划10年后粮食单产比现在增加22%,人均粮食占有量比现在提高10%,如果人口年增长

率为1%,那么耕地平均每年至多只能减小多少公顷(精确到1公顷)? 总产量 (粮食单产= ————,人均粮食占有量 耕地面积 总产量 = ————) 总人口数10

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解：设耕地平均每年至多只能减少x公顷， 又设该地区现有人口为P人， 粮食单产为M吨/公顷. 依题意得

M (1 2 2 % ) (1 0 - 1 0 x )4

P (1 1 % )3

10

M 1 0 (1 1 0 % )4

,

P

化简得

x 10 1 -

1 .1 (1 0 .0 1) 1 .2 2

10

,11

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因为3

1 .1 (1 + 0 .0 1 ) 1 0 3 1 0 1 1 .2 2

1 .1 1 2 2 =10 1 (1 + C 1 0 0 .0 1 + C 1 0 0 .0 1 + ) 1 .2 2

1 0 (1 3

1 .1 1 .2 2

1 .1 0 4 5 ) 4 .1

,

所以x≤4(公顷). 所以耕地平均每年至多只能减少4公顷.12

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参 考 题 题型 利用二项式定理证不等式 证明下列不等式： (1) >1,n∈N*,n≥2); 2 2 n ( a - 1) n (2)(1+x)n+(1-x)n<2n(|x|<1,n≥2). a 4 证明：(1)令a=1+x(x>0),则

a (1 x ) C n C n x C n x C n xn n 0 1 2 2 n

n

Cn x 2 2

n ( n - 1) 2

( a - 1)

2

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又 所以

n ( n - 1) 2

-

n

2

n(n - 2) 4

02

4

,即2

n ( n - 1) 2

n

2

,

4

n ( n - 1)

( a - 1) 2

n

( a - 1).

故

a n

n

2

2

4

4

( a - 1).

2

(2) (1+x)n+(1-x)n =2 (1 C n x C n x C n x . 因为|x|<1,所以0≤x2k<1. 所以(1+x)n+(1-x)n< 2( C 0 C 2 C 4 C 2 k ) n n n n =2· n-1=2n. 22 2 4 4 2k 2k

n )( k ) 2

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1. 求有关组合数的和，一般构造一个二项 展开式，再逆用二项式定理化简求和，或者 构造一个二项式恒等式，使所求的组合数的 和为展开式中某项的系数，再比较等式

两边 相应项的系数得出结论. 2. 利用二项式定理找出某两个数(或式)之间 的倍数关系，是解决有关整除性问题和余数 问题的基本思路，关键是要合理地构造二项 式，并将它展开进行分析判断.15

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3. 利用二项式定理进行近似值计算，就 是将所求的指数表示成二项式，展开后 根据近似值精确度要求，保留前几项， 再求其代数和. 4. 对某些含指数式的不等式证明，可考 虑将指数式化为二项式，展开后通过放 缩化简，转化为不等式的另一边.