微积分 2.5 两准则、两重要极限

《微分(积alcClus )u》第二章极 限和续连§.2 极5限在存准则两个和重要 极限

§.25 极限存在准则和两个重极限一要.夹 准则

逼sinx .二第一 要重限 极il m1 x 0x 三 .调单有界准则1 x 四 . 第二重要极 l限im( 1) e x x教学求： 要.1解两个了极准则限2.够能用两个重要极利进限极行计算限

.一 夹准逼则准I则在：给的定化变过中程如，f果x(,g())x,(hx)满 足()1 g (x) f( )x h( x ) (2 li) gm x( ) lim h x() A 则 imlf( x) A. x ,x , 意注 极限：过程x为 0 x或 (x 0 ,x

x ).

x x ,0

则I’:准如果数列 x ,n yn, zn满足()1y n n xzn ( n ,12, )( 2) imlyn l m inz a n n 则 lim x n a.n

Soltuoni.1 11 1. 例 l求mi (2 2 .. . )2 n. n n 2 n n 1n1 1n 2 2 2 2 2 n n n n 2 n n n n 又ilm 2 ,0l m 2 in 0. n n nn n

夹由准逼得则

1 1 1iml( 22 .. .2 ) 0 . n n n n n2

(类教似P78第23题材 )1 11练习 . 1求li ( m 2 2 . . . 2). n n 1 n 2n n Solutin. n n 1o 1 1 2 ( 2 )n n n2 1 n2 2 n2 nn 1 n 又im l2 0, n n n

n li 2 m 0 . nn

1由逼夹准得则1 11l i ( m2 2 .. . 2 ) 0. n n 1 n2 n n

1 11 练习.2求 l m ni 2( 2 ... 2 ). n n n 2 n nSol uito.nn2n2 1 1 12 n(2 2 2 ) n 2 n n n 2 n n n 又n im l 2 ,1n n n2

n2l mi 2 .1 n n 由夹准则得逼 1 11 li mn ( 2 2 .. . 2 ) 1 .n n n 2 n n 教材P

7例53例2x

f (x设)≤j (x)≤ g(x ) x∈()R且 ).

l则i jm () x(x

il m g ( x) f ( x ) 0,

A .存在等且 于0 .C 一定不在存

.B 存但不一在定为0 .D 不定一存在解用反例作 排法.除 设1 1f ( x) 1 2, j (x) 1 , g( x ) 21, x x或 (f )x in xs 11 , (jx ) s ni x, ( xg) sin x , 2 2xx

知条易件足，结满 A论 ,,B C 不成，故立应 D选.二.

第重要一极限si n xim 1lx 0x C

单设位圆O ,圆 角心 AOB , x ( 0x )2 作单位的切圆线 得，AC .O

B扇形OBA圆的角为心x, OAB的高 为BD ,o

xD

A

于有sin是 xDB,x 弧 B, taAn x C A , AOB面的积 形扇AB的O面 积 ADO的积,1面1 1 有 sin x : x atnx , 22 2 s nix tax n x 即,c s o x sin x 1 x, x 0x 0

式上对 于 x 0也 立成 .当 0x 时, 2 2

sinx . 1又l mic osx 1, iml

x

注

意

:isnx im l 1 0 x

(1x该)限最大极特是征含 " si0 n" sin j;( )x常用 的式形是 li m .1 j ( x) 0 j (x ) 并以此为工可求出具相的应其它一些数函的极限

si.n ( x ) j(2) l mi 1不一定成 立 ,为j因 ( x不一定)于 0. 趋 x j0( )

x1 sinx 0 例如 lmi 0x1 x

sin x 1 33例求.极 限 :1) (il min sx; ()2 lm i ;(3)lim x s n .ix 0 x 0 x x xoSution.ls in sxni (1) xlmis i n lxim x lm ix li 0m x0 x 0 x 0 0x xxs ni 3 xsni3 xin 3xs 2)( lmi lim 3 3li m .3x 0 x 0 x 0x3 x x3

1 isn1 x1 3)( limx s n ilmi x x x 1 x

Sluoiotn.1 c s x oat xn sni 例4x.极限 :求 () li1 m (2) ;li m 2 .3x 0 x 0x x2

xx 2 x in ssi n s2in 111 2 1 oc sx2 2 2 l i(m) () li1 2m lm i 22 li m 0xx 22 x 0 x 2 0x x 0 () x 2 x2tna x sin sxn xi( 1 co s)x( 2) iml lim 33 x 0 x 0x xos cx isn x 1 ocsx 1 lmi 2 x 0x x cos x 21

1 Soutloin.令 a csri n t x,1 5. 例极限求l m ixarcs n i . xx则 x当 时 , t0. (提高)题1 t lmi x arcsi linmx x t 0in ts1 1 lim .1 si n t t 0si n t li m t0 t t

1 ( x )tn a思题.考计算 li mx 1olutiSon. 2

.xlim (1 x ta)nx 1

x lm itt a (1 n ) tt 0 2 2t x1

cos t 2 li mt oct t li m t t t 0 0 2isnt 2

il 2m t 0in t 2

ts

cs to2 2 .

2

三. 单调有准界则准I则：单调I界数列有有极限必.意：注增单列数只需有界上；单数列只减有需界下. 何解释几

x1:x 2x3x nxn 1 m A

AM

x3 xx2x1

(

不要求)作 111 例 设6 u n 1 22 3 2 n 用单调有2准界则证

明列数 {u n 的}限极在

存证明易： 得un { }为一调递单数增，又

列 111 11 1 nu 1 2 2 2 1 2 3 n 2 213.n n ( )1

11 1 11 1 1 (1 ) ( ) () 2 2 223 n 1 n 所以 {nnu 为}单有调数界列 由单,有界定调理得列 数的限极在存

例7设x1 .6 ,x 1 n 6xn (n ). 1证: 数列x明n的限存极 ,在并求其值 . 分析:由xn 1 6 x 可n测xn猜调递单增 , xn 且 . 62① 6 xn xnxn 1 x n 6 xn x n

②数学用归法证纳 : 明nx 3.(3 n )(x2 x n) 6 xn x nx要n1 n 0,x只 需 3 xn .0即 :xn 3. 6 nx xn

四